Lemma Keteraturan untuk Grafik Jarang

Szemeredi's Regularity Lemma mengatakan bahwa setiap grafik yang padat dapat diperkirakan sebagai penyatuan $O(1)$ banyak grafik expander bipartit. Lebih tepatnya, ada partisi dari sebagian besar simpul ke dalam $O(1)$ set sehingga sebagian besar pasangan membentuk bipartit ekspander (jumlah set dalam partisi dan parameter ekspansi tergantung pada parameter perkiraan):

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Ada versi lemma ini untuk grafik jarang "berperilaku baik", lihat, misalnya:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Apa yang mengejutkan saya tentang formulasi ini adalah bahwa mereka hanya menjamin bahwa sebagian besar pasangan dalam bentuk partisi dari pengekspansi bipartit, dan pengekspansi bipartit ini mungkin kosong. Jadi, dalam grafik umum yang jarang, sangat mungkin bahwa semua tepi antara bagian-bagian berbeda dalam partisi simpul bukan milik expander.

Saya bertanya-tanya apakah ada formulasi yang memberikan bahwa sebagian besar tepi antara bagian-bagian dari expander, atau apakah tidak ada harapan untuk formulasi seperti itu.

Di bawah ini adalah jawaban yang bertele-tele, tapi tl; dr dalam kasus umum tidak ada harapan untuk perumusan tersebut, tapi bagi banyak dari kelas tertentu grafik jarang yang memiliki keteraturan lemmas formulasi ini ada.

Untuk latar belakang, ada dua versi populer dari SRL. Yaitu: untuk setiap $\varepsilon > 0$ tetap > 0 dan setiap $n$ -node graf $G = (V, E)$ , seseorang dapat mempartisi $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ menjadi $p = O_{\varepsilon}(1)$ bagian sehingga. ..

• (Ungkapan Kombinatorial) (1) $|V_0| \le \varepsilon n$ dan ukuran dari setiap $V_1, \dots, V_p$ berbeda dengan paling $1$ ( $V_0$ disebut "luar biasa set"), dan (2) semua tapi $\varepsilon p^2$ pasang bagian-bagian yang tersisa $(V_i, V_j)$ memuaskan

  $$\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$$ (di sini$d(\cdot, \cdot)$ memberikan kerapatan antara bagian-bagian, yaitu fraksi tepi yang ada).

• (Analytic Phrasing) Membiarkan

  $$\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$$ kami memiliki $$\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$$

"Penggabungan frase" (Saya baru saja membuat nama-nama ini, mereka tidak standar) adalah yang asli dan mungkin lebih terkenal, sedangkan "analitik ungkapan" lebih modern dan terkait dengan batas grafik, dll (saya pikir itu dipopulerkan di sini). Bagi saya yang analitik adalah formalisasi yang tepat dari "grafik yang didekati oleh penyatuan pengekspansi bipartit," karena ini memberikan kontrol pada "kesalahan" total perkiraan semacam itu, dan tidak ada set yang luar biasa untuk menyembunyikan massa. Tetapi pada titik ini ini hanya kosmetik, karena itu adalah lemma yang mudah tetapi penting bahwa kedua frasa ini setara. Untuk beralih dari Combinatorial ke Analytic, hanya serikat pekerja yang mengikat kontribusinya terhadap perbedaan bagian-bagian yang tidak teratur dan perangkat yang luar biasa. Untuk beralih dari Analytic ke Combinatorial, pindahkan saja setiap bagian yang berkontribusi terlalu banyak pada set yang luar biasa dan terapkan Ketimpangan Markov untuk mengendalikan massanya.

$\varepsilon$$\varepsilon d(G)$$d(G)$$G$ Sebaliknya, frase Analitik lebih kuat: itu masih menyiratkan Combinatorial persis seperti sebelumnya, tetapi Combinatorial umumnya tidak menyiratkan Analytic, karena (seperti yang diantisipasi dalam OP) seseorang berpotensi dapat menyembunyikan banyak kepadatan di set luar biasa atau antara non-reguler pasang bagian. Memang, pemisahan ini bersifat formal: grafik batas bawah untuk SRL padat (katakanlah, yang ini ) menyiratkan bahwa Analytic Phrasing secara umum tidak mencakup grafik yang jarang, tetapi makalah oleh Scott yang ditautkan dalam OP menunjukkan bahwa Frasa Kombinatorial sebenarnya tidak meluas ke semua grafik jarang tanpa kondisi.

Survei yang ditautkan dalam OP sebagian besar berbicara tentang SRL untuk grafik jarang "atas-reguler", yang secara kasar berarti bahwa grafik tidak memiliki potongan yang lebih padat daripada rata-rata lebih dari faktor konstan. Untuk grafik-grafik khusus ini, frase Combinatorial dan Analytic adalah setara, karena tidak mungkin ada terlalu banyak massa tambahan yang tersembunyi di bagian luar biasa sehingga kontribusinya terhadap perbedaan dapat dibatasi oleh kesatuan seperti dalam kasus padat. Jadi grafik ini memiliki interpretasi "didekati oleh penyatuan bipartit".

$L_p$