Invarians aljabar (atau numerik) dari kelas kompleksitas

Saya harap pertanyaan ini tidak terlalu naif untuk situs ini.

Dalam matematika (topologi, geometri, aljabar) adalah umum bagi seseorang untuk membedakan antara dua objek dengan menghasilkan invarian aljabar atau numerik, dan membuktikan bahwa dua objek memiliki nilai yang berbeda. Saya bertanya-tanya sejauh mana ini telah dicoba dengan kelas kompleksitas (atau jika sudah, mengapa saya belum pernah mendengarnya). Struktur aljabar muncul banyak dalam ilmu komputer teoretis secara keseluruhan (lih. Penggunaan struktur aljabar dalam ilmu komputer teoretis ), jadi mengapa tidak dalam teori kompleksitas?

Dalam kenaifan saya, saya dapat membayangkan gagasan tentang kesetaraan dua bahasa: adanya pengurangan waktu polinomial yang juga dapat dibalikkan (atau penambangan pada string). Saya juga bisa membayangkan bahwa gagasan ini tidak cocok: tidak ada bahasa terbatas kardinalitas berbeda dapat dianggap setara, meskipun kita lebih sering tertarik pada bahasa tak terbatas.

Adakah konsep isomorfisme bahasa lain yang lebih lemah yang menghasilkan hasil yang menarik? Apakah ada jenis lain dari invarian rasa rasa numerik yang telah digunakan untuk membedakan kelas kompleksitas?

Pertama-tama, hubungan yang Anda tetapkan biasanya disebut isomorfisme waktu polinomial ( ). Meskipun isomorfisme adalah gagasan menarik yang telah dipelajari, hubungan (lebih lemah) yang lebih sering menjadi perhatian dalam kompleksitas adalah kesetaraan waktu-polinomial : dan adalah ekuivalen ( ) jika ada banyak waktu-polinomial -satu pengurangan (alias pengurangan Karp) dari ke dan sebaliknya, tetapi pengurangan itu tidak perlu terbalik satu sama lain, dan bahkan tidak perlu memiliki invers waktu polinomial. Kadang-kadang kami juga peduli tentang kesetaraan dalam pengurangan Turing polinomial-waktu daripada banyak-satu ( A B A ≡ p m B A B ≡ p T P N $\cong^p$$A$$B$$A \equiv_m^p B$$A$$B$$\equiv_T^p$), alias pengurangan Cook. Misalnya, salah satu dari gagasan kesetaraan ini "cukup baik" untuk vs (yaitu, Anda tidak perlu mempertimbangkan kelas isomorfisme).$P$$NP$

Dari perspektif kesetaraan polinomial-waktu, ada sebagian "alasan bagus" bahwa Anda tidak mendengar tentang invarian numerik: mereka tidak dapat bekerja secara umum. Teorema dalam tesis Andrew Marks menyatakan bahwa lengkap untuk hubungan ekivalen Borel yang dapat dihitung (pengantar tesisnya memberikan gambaran yang baik tentang hubungan ekivalensi Borel dan signifikansinya). Secara khusus, ini menyiratkan bahwa tidak ada fungsi Borel sedemikian rupa sehingga iff . f : 2 N → R A ≡ p T B f ( A ) = f ( B $\equiv_T^p$$f: 2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$A \equiv_T^p B$$f(A) = f(B)$

Alasan saya mengatakan ini hanya sebagian alasan yang bagus adalah karena masih mungkin ada fungsi Borel sedemikian rupa sehingga jika maka . Atau mungkin ada fungsi non-Borel yang melakukan pekerjaan, tetapi jika ada kita agak tidak mungkin menemukannya ...$f:2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$f(A) \neq f(B)$$A \not\equiv_T^p B$

Tetapi mengklasifikasikan semua kelas ekivalensi juga lebih kuat daripada yang biasanya kita pedulikan, karena jumlah kelas ekivalensi yang muncul sebagai kelas kompleksitas alami relatif kecil (meskipun ukuran yang dilarang dari kebun binatang kompleksitas). Namun, ada invarian "numerik" lain yang dapat kita kaitkan dengan bahasa. Salah satunya adalah kepadatannya: kepadatan bahasa adalah fungsi jumlah string dalam panjang . Perhatikan bahwa densitas dipertahankan, hingga perubahan polinomial, oleh isomorfisma poli-waktu, tetapi tidak harus dengan kesetaraan polinomial-waktu (misalnya semua bahasa dalam adalah ekuivalen waktu polinomial, tetapi mereka dapat memiliki kepadatan yang sangat berbeda).$A$$d_A(n) :=$$A$$\leq n$$P$

Kita tahu hal-hal seperti: jika adalah polinomially sparse ( ) maka tidak bisa -complete kecuali (Mahaney's Theorem). Ada banyak hasil lain tentang bahasa yang jarang dan hubungannya dengan kelas kompleksitas. Untuk survei yang baik, lihat Cai dan Ogihara "Set Jarang versus Kelas Kompleksitas" dalam Teori Kompleksitas Retrospektif II (tersedia online - hanya Google) dan pasangan artikel Hemaspaandra dan Gläßer "A Moment of Perfect Clarity I, II" di SIGACT News.$A$$d_A(n) \leq poly(n)$$A$$NP$$P=NP$

Seperti yang disebutkan oleh @SureshVenkat, Anda dapat melihat Teori Kompleksitas Geometris dalam cahaya yang Anda bicarakan. Namun, objek aljabar yang digunakan di sana - yaitu representasi - lebih mirip dengan sifat umum suatu bahasa daripada sifat numerik per se, tetapi setidaknya mereka adalah sifat dari rasa aljabar.

Akhirnya, dalam teori kompleksitas aljabar satu sifat numerik yang layak disebutkan, tetapi mungkin tidak akan berhasil untuk menyelesaikan pertanyaan besar, adalah gelar. (Seperti dalam tingkat polinomial.) Batas derajat Strassen masih satu-satunya batas bawah super-linier yang diketahui pada sirkuit aljabar yang tidak dibatasi. Gelar juga digunakan misalnya dalam Razborov-Smolensky dan banyak area lain dari kompleksitas sirkuit level rendah (Boolean).