Penggunaan kuasi-PER / hubungan difungsional / hubungan zig-zag?

Diberikan himpunan dan B , hubungan difungsional ( ∼ ) ⊆ A × B di antara mereka didefinisikan sebagai hubungan yang memuaskan properti berikut:$A$$B$ $(\sim) \subseteq A \times B$

Jika dan a ′ ∼ b ′ dan a ∼ b ′ , maka a ′ ∼ b . $a \sim b$$a' \sim b'$$a \sim b'$$a' \sim b$

Relasi difungsional adalah generalisasi konsep relasi ekuivalensi parsial yang memungkinkan seseorang untuk mendefinisikan gagasan persamaan dari set yang berbeda . Akibatnya, mereka juga dikenal sebagai quasi-PERs (QPERs), dan mereka juga dikenal sebagai hubungan zig-zag, karena gambar berikut:

Saya menulis makalah yang menggunakan mereka, tetapi saya mengalami kesulitan melacak referensi yang baik untuk digunakan dalam semantik.

1. Martin Hoffman menggunakannya dalam Koreksi Transformasi Program Berbasis Efek .
2. Saya telah melihat menyebutkan (tetapi tidak ada referensi yang baik) mengklaim bahwa Tennant dan Takeyama telah mengusulkan penggunaannya juga.

Mereka adalah ide yang cukup bagus sehingga saya kesulitan mempercayai penggunaan khusus saya atas mereka adalah asli. Saya akan sangat menghargai referensi lebih lanjut.

Makoto Takeyama dan saya mengirim yang berikut ke [email protected] pada 5 Januari 1996:

Subjek: apa itu hubungan perbaikan data?

Yang terhormat: ada yang masih tertarik dengan perbaikan data?

Baru-baru ini Mak dan saya telah melihat kembali sebuah ide yang kami pertimbangkan beberapa bulan yang lalu. Motivasinya adalah untuk mengkarakterisasi hubungan logis yang relevan untuk menunjukkan perbaikan data. Ini dirangsang oleh kesadaran bahwa hubungan logis dapat digunakan untuk menunjukkan "keamanan" dari interpretasi abstrak (lihat Bagian 2.8 bab oleh Jones dan Nielson dalam volume 4 dari Buku Pegangan Logika dalam CS), tetapi hubungan seperti itu lebih umum daripada yang digunakan untuk menunjukkan perbaikan data.

Alasan saya adalah sebagai berikut. Jika relasi R membuat penyempitan data antara (di antara) set, maka itu harus menginduksi hubungan (parsial) kesetaraan pada masing-masing set, dengan kelas-kelas kesetaraan ini dalam korespondensi satu-ke-satu, dan setiap elemen dari kelas ekivalensi harus terkait dengan semua elemen kelas ekivalensi yang sesuai di domain interpretasi lainnya. Idenya adalah bahwa setiap kelas ekivalensi mewakili nilai "abstrak"; dalam interpretasi yang sepenuhnya abstrak, kelas ekivalensi adalah lajang.

Kita dapat memberikan kondisi sederhana untuk memastikan bahwa relasi n-ary R menginduksi struktur ini. Tentukan v ~ v 'dalam domain V jika jika ada nilai x di beberapa domain X lainnya (dan nilai arbitrer ... di domain lain) sedemikian rupa sehingga R (..., v, ..., x, ... ) dan R (..., v ', ..., x, ...). Ini mendefinisikan hubungan simetris pada masing-masing domain. Memberlakukan transitivitas lokal kemudian akan memberi kita pers di setiap domain, tetapi ini tidak cukup karena kami ingin memastikan transitivitas lintas interpretasi. Kondisi berikut mencapai ini: jika v_i ~ v'_i untuk semua i, maka R (..., v_i, ...) iff R (..., v'_i, ...) Saya menyebutnya "zig- zag kelengkapan "; dalam kasus n = 2, dikatakan bahwa jika R (a, c) & R (a ', c') maka R (a, c ') iff R (a', c).

Dalil. Jika R dan S adalah hubungan lengkap zig-zag, begitu juga R x S dan R -> S.

Dalil. Misalkan t dan t 'adalah istilah tipe th dalam konteks pi, dan R adalah hubungan logis zig-zag lengkap; kemudian, jika penilaian ekivalensi t = t 'ditafsirkan sebagai berikut:

untuk semua u_i di V_i [[pi]],
R ^ {pi} (..., u_i, ...) menyiratkan bahwa, untuk semua i, V_i [[t]] u_i ~ V_i [[t ']] u_i

interpretasi ini memenuhi aksioma dan aturan yang biasa untuk logika persamaan.

Intuisi di sini adalah bahwa istilahnya harus "setara" baik dalam interpretasi tunggal (V_i) dan lintas interpretasi; yaitu, makna t dan t 'berada dalam kelas ekivalensi yang diinduksi-R yang sama, tidak peduli interpretasi mana yang digunakan.

Pertanyaan:

1. Adakah yang pernah melihat struktur seperti ini sebelumnya?

2. Apa generalisasi alami dari gagasan-gagasan ini terhadap proposisi lain dan kategori semantik "semena-mena"?

Bob Tennent [email protected]

Saya tidak tahu tentang bidang semantik, tetapi konsep yang Anda sebutkan sangat penting dalam kompleksitas penghitungan.

R$R$$R$$R$$m$$m(x,y,y) = m(y,y,x) = x$$x$$y$

$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$