Gerbang universal untuk SU (3)?

Dalam komputasi kuantum kita sering tertarik pada kasus-kasus di mana sekelompok operator kesatuan kesatuan, G, untuk beberapa sistem d-dimensi memberikan seluruh kelompok SU (d) dengan tepat atau bahkan hanya perkiraan yang disediakan oleh penutup padat SU (d).

Sekelompok tatanan terbatas, seperti grup Clifford untuk sistem d-dimensi C (d), tidak akan memberikan penutup yang padat. Sekelompok tatanan tak terbatas tidak akan memberikan perlindungan jika kelompok itu Abelian. Namun, intuisi kasar saya adalah bahwa jumlah gerbang tanpa batas dan operasi dasar yang berubah dari kelompok Clifford sudah cukup untuk menyediakan penutup yang padat.

Secara formal, pertanyaan saya adalah:

Saya memiliki grup G yang merupakan subkelompok SU (d). G memiliki urutan yang tak terbatas dan C (d) adalah subkelompok dari G. Lakukan semua G tersebut memberikan tutupan SU (d) yang padat.

Perhatikan bahwa saya secara khusus tertarik pada kasus ketika d> 2.

Saya menganggap grup Clifford seperti yang didefinisikan di sini: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Ini bukan jawaban yang lengkap, tetapi mungkin ada beberapa cara menuju menjawab pertanyaan.

Karena memiliki urutan tak terbatas tetapi tidak, maka tentu berisi gerbang grup non-Clifford. Namun memiliki sebagai subkelompok. Tetapi untuk grup Clifford ditambah gerbang lain yang tidak ada dalam grup Clifford kira-kira universal (lihat misalnya Teorema 1 di sini ). Oleh karena itu semua memberikan tutup yang padat pada .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

Untuk kasus di mana sepertinya mungkin untuk membuktikan bahwa Anda masih mendapatkan tutupan padat di sepanjang baris berikut (menggunakan notasi kertas yang ditautkan dalam pertanyaan):$d>2$

1. Karena semua gerbang di adalah satu kesatuan, semua nilai eigennya adalah akar persatuan, yang untuk kesederhanaan saya akan membuat parameter dengan sudut nyata .0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Karena memiliki urutan tanpa batas, salah satu berisi gerbang yang setidaknya satu nilai adalah kelipatan irasional dari atau berisi perkiraan yang sewenang-wenang terhadap kelipatan tidak rasional . Mari kita tunjuk satu gerbang seperti itu .G θ k π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Lalu ada sedemikian rupa sehingga mendekati secara sewenang-wenang, tetapi tidak sama dengan identitas.g $n$$g^n$
4. Karena adalah kesatuan, ia dapat ditulis sebagai . exp ( - i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. Karena grup Pauli sebagaimana didefinisikan dalam quant-ph / 9802007 membentuk dasar untuk matriks , Anda dapat menulis , di mana dan untuk setiap (dengan [3]), dengan setidaknya satu seperti tidak sama dengan nol.H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. Kita kemudian dapat memilih sebuah elemen dari grup Clifford yang memetakan ke bawah konjugasi. Jadi , di mana hanyalah permutasi dari dan .X j d Z k d Z d C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( a , b ) α ′ j k X j d Z k d ) ) $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$ Α α a b = α ′ $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Perhatikan bahwa memenuhi . Mari kita definisikan .Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g ℓ = Z - ℓ d C g n C † Z ℓ d = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Oleh teorema Baker-Cambel-Hausdorff, karena semua telah dibuat secara sewenang-wenang dekat dengan identitas, kita dapat mengevaluasi produk dari untuk pesanan pertama sebagai . Menjumlahkan semua rute persatuan, untuk menghasilkan . Ini pada dasarnya adalah urutan decoupling yang memisahkan elemen non-diagonal.g ′ = g 1 × . . . × g d exp ( - i ( d × ( ∑ k α 0 k Z k ) + ( ∑ d ℓ = 1 ω d ) × ∑ j ≠ 0 ∑ k α j k X j d Z k d ) ) d > 1 $\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Karena hanya matriks diagonal tetap dalam eksponensial, harus diagonal. Lebih lanjut karena pembatasan pada itu perlu memiliki nilai eigen yang bukan nol tetapi sebanding dengan .$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Dengan memvariasikan dan mengulangi proses di atas, dimungkinkan untuk menghasilkan gerbang independen linier: , sehingga produk mereka menghasilkan gerbang diagonal dengan fase yang irasional dan tidak sepadan atau perkiraan yang ditutup secara sewenang-wenang. untuk satu.$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. Dengan referensi yang diberikan dalam jawaban Mark Howard ini, bersama dengan kelompok Clifford, harus cukup untuk perkiraan universalitas.

Saya percaya jawaban untuk pertanyaan awal mungkin ya, tapi sayangnya, saya tidak bisa mengatakan itu secara definitif. Saya dapat membantu menjawab pertanyaan Peter yang panjang.

Dalam matematika / 0001038, oleh Nebe, Rains, dan Sloane, mereka menunjukkan bahwa kelompok Clifford adalah subkelompok hingga U maksimal (2 ^ n). Solovay juga telah menunjukkan ini dalam karya yang tidak dipublikasikan yang "pada dasarnya menggunakan klasifikasi kelompok sederhana hingga." Nebe et al. Makalah juga menunjukkan bahwa kelompok Clifford qudit adalah subkelompok hingga maksimal maksimal p, juga menggunakan klasifikasi grup hingga. Ini berarti bahwa grup Clifford ditambah gerbang apa pun adalah grup tanpa batas, yang menjadikan salah satu asumsi pertanyaan asli menjadi berlebihan.

Sekarang, baik Rains maupun Solovay memberi tahu saya bahwa langkah selanjutnya, menunjukkan bahwa sebuah kelompok tanpa batas yang berisi kelompok Clifford bersifat universal, relatif mudah. Namun, saya tidak tahu bagaimana langkah itu sebenarnya bekerja. Dan yang lebih penting untuk pertanyaan awal, saya tidak tahu apakah mereka hanya mempertimbangkan kasus qubit atau juga kasus qudit.

Sebenarnya, saya dapat menambahkan bahwa saya juga tidak mengerti bukti Nebe, Rains, dan Sloane, tetapi saya ingin.

Tidak jelas bagi saya apakah Anda bertanya tentang SU (3) atau SU (3 n ) yang bekerja pada produk tensor dari qudit. Saya akan menganggap Anda bertanya tentang SU (3). Tidak jelas bagi saya (terlepas dari apa yang saya katakan di versi sebelumnya dari jawaban saya) bahwa pernyataan untuk SU (3) menyiratkan pernyataan untuk SU (3 n ).$^{n}$$^n$

Selama himpunan gerbang tidak terletak pada subkelompok SU (3), ia akan menghasilkan penutup SU (3) yang padat. Jadi, Anda perlu memeriksa apakah salah satu subkelompok SU (3) yang tak terbatas berisi grup Clifford. Saya cukup yakin mereka tidak, tetapi saya tidak bisa mengatakan dengan pasti. Berikut ini adalah pertanyaan melimpah matematika yang memberikan semua subkelompok Lie dari SU (3).

Saya pikir saya harus memperbarui utas ini sebelum situs dibekukan selamanya.

Jawaban Daniel ada di garis yang benar. "Langkah selanjutnya" yang ia sebutkan ini muncul dalam buku Nebe, Rains, dan Sloane, " Self-Dual Codes and Invariant Theory ".

Oleh karena itu, jawaban untuk pertanyaan ini adalah "Ya" - dan langsung mengikuti dari Konsekuensi 6.8.2 dalam buku Nebe, Rains, dan Sloane.

Saya berterima kasih kepada Vadym Kliuchnikov yang menunjukkan hal ini kepada saya ketika saya mengunjungi Waterloo.

Saya pikir makalah berikut ini mungkin berisi konstruksi yang relevan untuk membuktikan universalitas qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

Secara khusus, komentar di akhir bagian mengatakan bahwa Controlled-fase C Z , Transformasi Fourier F , dan gerbang diagonal D dengan fase irasional dan tidak seimbang memberikan universalitas perkiraan. (Ini adalah kondisi yang cukup pada D tapi saya cukup yakin itu bukan kondisi yang diperlukan.)$4$$CZ$$F$$D$$D$

Jika Anda dari bentuk yang benar (dan gerbang diagonal akan tampak pilihan alami) maka hasilnya berlaku$G$

Pendekatan alternatif adalah menciptakan negara ancilla yang diperlukan untuk implementasi qudit Toffoli, atau secara langsung menggunakan bersama dengan Cliffords untuk mengimplementasikan Toffoli. Sulit untuk mengatakan apakah ini adalah mungkin tanpa mengetahui lebih lanjut tentang G .$G$$G$