Decidability / algoritme untuk memeriksa universalitas set gerbang kuantum

Mengingat satu set terbatas gerbang kuantum , itu decidable (dalam perhitungan akal teoritis) apakah adalah gerbang universal set? Di satu sisi, "hampir semua" set gerbang bersifat universal, di sisi lain, set gerbang non-universal masih belum dipahami dengan baik (khususnya, tentu saja, tidak diketahui apakah setiap set gerbang non-universal dapat disimulasikan secara klasik), jadi saya membayangkan memberikan algoritma eksplisit untuk memeriksa universalitas bisa jadi tidak penting. $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing Marcin Kotowski
sumber

Bisakah Anda mengklarifikasi pertanyaan? Jawaban Joe mengasumsikan Anda memiliki jumlah qubit yang tetap dan semua gerbang menindakinya, tetapi untuk universalitas, kami sering menganggap gerbang dapat bertindak pada subset dari qubit apa pun. Misalnya, CNOT + semua gerbang satu-qubit tidak universal jika gerbang satu-qubit hanya dapat bekerja pada qubit pertama, dan CNOT hanya dari qubit 1 ke qubit 2. Dalam kasus terakhir, kami mungkin ingin mengekstrapolasi ke banyak qubit untuk mendapatkan universalitas. Dalam hal ini, saya pikir anwer mungkin tidak diketahui.

@DanielGottesman: Saya setuju tentang keterbatasan jawaban saya. Memang, saya percaya itu tidak dapat diputuskan dalam kasus terakhir sebagai berikut: Ambil automata seluler pada kisi qubit yang tak terbatas dan gunakan untuk menyandikan masalah penghentian (sebut pembaruan ini kesatuan

). Kemudian ambil kisi kedua dengan QCA universal (dengan pembaruan

kesatuan ). Kita dapat mendefinisikan satu kesatuan baru

, di mana subskrip

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$ menunjukkan qubit yang disetel ke

IFF pemberhentian selular automata pertama.

| 1 ⟩

$|1\rangle$

Joe Fitzsimons

Dengan demikian gerbang

bersifat universal jika dan hanya jika mesin Turing pertama berhenti, dan karenanya tidak dapat diputuskan.

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

Joe Fitzsimons

Jawaban:

Untuk kasus orang Hamilton, daripada gerbang jawabannya adalah sepele ya: Anda cukup menyebutkan elemen independen dari aljabar Lie. Karena aljabar Lie adalah ruang vektor dengan penambahan operator braket Lie. Karena ruang terbatas, ia memiliki dasar yang terbatas, dan yang dapat dengan mudah diperiksa apakah ditutup atau terbuka di bawah operasi braket Lie. Cukup memeriksa braket kebohongan semua pasangan operator ortogonal dapat dilakukan dalam polinomial waktu dalam dimensi ruang, dan basis operator yang cocok dapat ditemukan dengan metode Gram-Schmidt.

Untuk gerbang, Anda tidak benar-benar memiliki opsi yang sama untuk menggunakan infinitesimal langsung, dan perlu membangun gerbang dengan nilai eigen yang tidak rasional sehingga Anda dapat dengan sewenang-wenang memperkirakan generator sangat kecil yang diperlukan. Saya kira ada cara yang relatif sederhana untuk melakukan ini, tetapi tidak segera jelas bagi saya.

Dalam kasus apa pun, mengambil log gerbang untuk mendapatkan seperangkat operator yang menghasilkan mereka ketika dipaparkan dan memeriksa apakah ini menghasilkan aljabar kebohongan penuh akan memberikan kriteria sederhana yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk universalitas.

Joe Fitzsimons
sumber

Kenapa kita harus memeriksa hanya pasangan?

Alex 'qubeat'

@AlexV: Karena Lie bracket beroperasi pada 2 input. Setiap kali Anda menghasilkan operator independen linier baru, Anda menghasilkan operator ortogonal dan ulangi sampai Anda mendapatkan penutupan.

Joe Fitzsimons

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

@AlexV: Anda tidak perlu melakukannya. Ini adalah ruang vektor, jadi vektor itu ortogonal ke subruang yang diberikan jika dan hanya jika itu ortogonal terhadap dasar apa pun untuk subruang itu.

Joe Fitzsimons

Mungkin kita berbicara tentang hal-hal yang berbeda - ruang vektor mana yang Anda bicarakan? Anda tidak tahu sejak awal subalgebra yang dihasilkan oleh gerbang Anda - Anda perlu menyusunnya dari orang Hamilton yang diberikan untuk memeriksa apakah seluruh aljabar Lie.

Alex 'qubeat'