Gambar geometris di belakang ekspander kuantum

(juga bertanya di sini , tidak ada balasan)

A -quantum expander adalah distribusi atas kelompok kesatuan dengan properti yang: a) , b) , di mana adalah ukuran Haar. Jika alih-alih distribusi pada unitari kami mempertimbangkan distribusi atas matriks permutasi, tidak sulit untuk melihat bahwa kami memulihkan definisi biasa dari grafik ekspander reguler. Untuk latar belakang lebih lanjut, lihat misalnya: Ekspander Produk Quantum Tensor yang Efisien dan desain-k oleh Harrow dan Low.ν U ( d ) | s u p p ν | = d ‖ E U ∼ ν U ⊗ U † - E U ∼ μ H U ⊗ U † ‖ ∞ ≤ $(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

Pertanyaan saya adalah - jangan ekspander kuantum mengakui segala jenis interpretasi geometris mirip dengan ekspander klasik (di mana spektral gap isoperimetry / perluasan grafik yang mendasari)? Saya tidak mendefinisikan "realisasi geometris" secara formal, tetapi secara konseptual, orang dapat berharap bahwa kriteria spektral murni dapat diterjemahkan ke beberapa gambar geometris (yang, dalam kasus klasik, adalah sumber kekayaan matematika yang dinikmati oleh ekspander; struktur matematika kuantum ekspander tampaknya jauh lebih terbatas).$\sim$

[Jawaban ini disalin dari jawaban saya di situs stackexchange teoretisphysics sekarang-mati.] Untuk ekspander klasik, definisi spektral dapat dinyatakan dalam nilai eigen terkecil terkecil dari grafik Laplacian, yang dapat dianggap sebagai minimum dari bentuk kuadrat atas semua vektor satuan ortogonal ke semua vektor. Jika kita membatasi minimisasi ini ke vektor bentuk (a, a, ..., a, b, b, ..b), maka ini menghasilkan perluasan tepi grafik. di sini adalah diskusi. Setara kasar kedua definisi ini dikenal sebagai ketimpangan Cheeger .

Ini menunjukkan bahwa untuk kasus kuantum kita harus mempertimbangkan tindakan saluran (dibentuk dengan menerapkan kesatuan acak dari expander) pada proyektor. Hasil yang dianalogikan dengan ketimpangan Cheeger diperoleh di Lampiran A dari arXiv: 0706.0556 .

Di sisi lain, sementara ini analog secara matematis, kita masih tahu banyak aplikasi lebih sedikit dari ekspander kuantum daripada yang dikenal untuk ekspander klasik.