Seluk-beluk korespondensi antara teori tipe dan teori kategori berada di luar ken saya. Namun, dengan pemahaman saya yang naif tentang hubungan antara dua disiplin ilmu yang secara historis konvergen, yang terakhir sepenuhnya mencakup yang pertama. Jika demikian, dapatkah bahasa dan deskripsi formal / grafis yang digunakan oleh ahli teori kategori menggantikan mereka yang bertipe teoretikus? Dan haruskah mereka (misalnya, dalam pedagogi dan penerbitan akademis)?
Formalisme yang berbeda dapat menginspirasi perspektif novel dan menelurkan koneksi konseptual yang mungkin tidak jelas. Namun, banyaknya dialek mungkin juga membatasi ukuran audiens yang reseptif, dan, jika pendekatan poliglot diambil, panjang dan kompleksitas eksposisi diperparah.
Jika teori kategori mendukung teori jenis, haruskah perbedaan dialektik dari kedua disiplin ilmu dipertahankan, dan jika demikian, mengapa? Demi nilai sejarah atau budaya? Untuk mempertahankan perbedaan penekanan pengajaran atau teoretis yang berbeda tetapi menonjol? Apa ini?
sumber
Jawaban:
Karena Anda mengatakan bahwa "seluk-beluk korespondensi antara teori tipe dan teori kategori berada di luar ken Anda", mungkin cara terbaik untuk memahami korespondensi adalah dengan membaca eksposisi non-teknis pada topik tersebut. Saya dapat merekomendasikan dua:
Steve Awodey, Dari Set ke Jenis, ke Kategori, ke Set , Di: Sommaruga G. (eds) Teori Dasar Matematika Klasik dan Konstruktif. The Ontario Barat Seri dalam bidang Filsafat Ilmu Pengetahuan, vol 76. Springer, Dordrecht ( preprint gratis di sini )
Posting blog Robert Harper The Holy Trinity , dan lihat juga slide-slide ini .
Saya kira, pelajaran yang bisa diambil adalah bahwa setiap pendekatan memiliki sesuatu untuk ditawarkan dan bahwa mereka bekerja paling baik bersama, dan tidak begitu banyak jika Anda mencoba untuk mengganti atau menggolongkan satu dengan yang lain.
sumber
Pandangan saya kurang lebih mirip dengan chi. Saya melihat teori kategori sebagai (kira-kira) untuk mengetik teori apa teori model untuk logika. Beberapa konsekuensi dari itu, pertama, masing-masing dapat eksis secara mandiri. Memang, teori tipe mendahului teori kategori, dan penciptaan teori kategori tidak termotivasi oleh keprihatinan ini. Kedua, banyak teori kategori pembedaan / teori model yang sengaja coba dikaburkan adalah minat utama pada teori jenis / logika.
Sebagai contoh yang sangat mendasar, semua presentasi aksioma suatu kelompok memunculkan kelas model yang sama (yaitu kelompok). Dari perspektif aljabar universal, variasi (dalam artian aljabar universal, atau kategori aljabar finitarial dari perspektif CT) lupa presentasinya. Sementara itu, dari perspektif logika persamaan, hanya presentasi yang ada. Topik komputasi utama di sini adalah E-unifikasi yang beroperasi sepenuhnya pada tingkat logika persamaan, yaitu presentasi.
Ini tipikal. Kami mengatakan kalkulus lambda yang diketik sederhana (dengan produk) (STLC) adalah bahasa internal dari kategori tertutup Cartesian, tetapi sebenarnya hanya satu presentasi dari bahasa internal dan bahkan bukan yang paling "langsung". The Categorical Abstract Machine (CAM) adalah representasi yang lebih "langsung". Bahkan dengan STLC, panah dari kategori sintaksis yang sesuai adalahβη -Kelas ekivalensi istilah lambda! (Tapi lihat ini )βη -kelas ketetapan dari istilah STLC dan tidak memiliki konten komputasi , atau kita harus sudah memahami STLC di luar teori kategori, atau kita perlu berbicara alih-alih presentasi kategori tertutup Cartesian yang, dengan mengambil pendekatan yang cukup alami, akan mengarah ke sesuatu CAM -Suka. Dalam kasus terakhir, persamaan panah menjadi sesuatu seperti masalah E-unifikasi. Memahami dan menyederhanakan proses ini serta menempatkan fasad STLC yang lebih ergonomis di depannya, membutuhkan teknik yang merupakan roti dan mentega dari logika dan teori tipe tetapi tidak terlalu alami dalam teori kategori.
Gambaran yang disederhanakan secara besar-besaran yang mungkin memberikan gagasan yang lebih baik tentang bagaimana teori kategori dan teori jenis saling terkait adalah sebagai berikut. Anda bisa membayangkannya sebagai dua dimensi. Alat, teknik, dan notasi teori tipe diarahkan untuk bergerak secara vertikal antara presentasi berbeda dari objek yang sama, sedangkan alat, teknik, dan notasi teori kategori dan diarahkan untuk bergerak secara horizontal antara objek matematika yang berbeda. Anda bahkan dapat mengatakan bahwa suatu kategori adalah garis vertikal keseluruhan dan teori kategori tersebut berbicara tentang memindahkan satu garis vertikal ke garis lainnya tetapi tidak bagaimana titik-titik dari kedua garis tersebut bersesuaian. Dalam gambar ini, teori kategori bahkan tidak mampu berbicara tentang teori jenis pembedaan sedang dibuat, tetapi ini disengaja karena itu berarti bahwa pemetaan titik-titik pada satu garis vertikal yang rumit secara sewenang-wenang ke titik-titik yang lain hanya tidak relevan dengan apa yang dipedulikan teori kategori dan dapat diabaikan.
Dalam posting blog saya, Kategori Teori, Secara sintaksis , saya menggambarkan suatu pendekatan yang membuat teori kategori lebih mirip teori tipe (daripada sebaliknya). Tidak mengherankan, apa yang sebenarnya saya bahas adalah presentasi kategori. Lebih lanjut, Anda dapat melihat aspek normalisasi masuk dalam gambar, misalnya dalam diskusi saya tentang "teori produk", meskipun ini bukan fokus pada semua posting tertentu.
sumber