Mengapa masalah keputusan umum digunakan dalam teori kompleksitas?

Dari Wikipedia :

Jenis masalah komputasi: Masalah yang paling umum digunakan adalah masalah keputusan . Namun, kelas kompleksitas dapat didefinisikan berdasarkan masalah fungsi, masalah penghitungan, masalah optimisasi, masalah janji, dll.

Saya juga melihat definisi NP-complete, NP-hard, NP, ..., didefinisikan untuk masalah keputusan saja. Saya bertanya-tanya mengapa demikian?

Apakah itu karena masalah lain dapat secara setara dikonversi menjadi masalah keputusan?

Seringkali masalah keputusan digunakan karena memungkinkan definisi masalah yang tepat dan sederhana dan, sebagaimana disebutkan, banyak masalah lain dapat dikonversi menjadi masalah keputusan yang setara.

Jenis masalah lain juga dipertimbangkan dalam teori kompleksitas, misalnya Masalah Fungsi dan Masalah Pencarian .

mungkin ada banyak cara berbeda untuk menjawab pertanyaan ini namun satu elemen kunci adalah preseden historis. penolakan terhadap keberadaan algoritma untuk masalah penghentian pada tahun 1936 oleh Turing menggunakan masalah penghentian sebagai masalah keputusan. ini pada gilirannya didasarkan pada (dan diselesaikan secara negatif) Hilberts Entscheidungsproblem (1928) yang meminta metode sistematis untuk menentukan kebenaran atau kepalsuan dari setiap pernyataan matematika yang terbentuk dengan baik yaitu juga masalah keputusan.

ini pada gilirannya memiliki beberapa kemiripan dengan masalah Hilberts ke-10 yang berasal dari tahun 1900 yang meminta solusi persamaan bilangan bulat Diophantine (banyak dari 23 masalah penelitian perbatasan / penting dinyatakan sebagai masalah keputusan). namun perhatikan Entscheidungsproblem bahkan berakar pada konsep Leibniz yang jauh lebih awal seperti yang dinyatakan oleh wikipedia:

Asal usul Entscheidungsproblem kembali ke Gottfried Leibniz, yang pada abad ketujuh belas, setelah membangun mesin penghitung mekanis yang sukses, bermimpi membangun sebuah mesin yang dapat memanipulasi simbol untuk menentukan nilai kebenaran dari pernyataan matematika.

juga perhatikan bahwa persamaan Diophantine berasal dari Yunani yang merupakan orang pertama yang mempertimbangkan, mempelajari, dan menekankan pentingnya bukti matematika. setidaknya ada dua masalah penting dari teori bilangan, masih belum terselesaikan dengan banyak penelitian modern, karena orang-orang Yunani: keberadaan bilangan prima kembar tak terbatas , dan keberadaan bilangan sempurna ganjil .

perhatikan beberapa "masalah keputusan" (yaitu dalam bentuk mencari bukti untuk membuka dugaan matematika) secara harfiah membutuhkan ratusan tahun untuk menyelesaikan misalnya Teorema Terakhir Fermats , lebih dari 3,5 abad, juga dalam teori bilangan.

jadi masalah keputusan sudah sangat tua, tetapi bahkan ketika hanya dinyatakan bisa sangat sulit , dan pada dasarnya berakar pada pertanyaan "apakah pernyataan ini benar atau salah" relatif terhadap adanya bukti. pada intinya konsep inti matematika. Selain itu terus muncul kembali di tempat-tempat modern dengan cara yang mendasar dan mengingatkan seperti pertanyaan P vs NP (~ 1971) di mana kelas NP dapat didefinisikan / dibingkai dalam hal penghentian mesin NP dan solusi dari masalah kepuasan dalam waktu P .