Keteraturan bahasa unary dengan panjang kata jumlah dari dua resp. tiga kotak

Saya berpikir tentang bahasa unary , di mana diatur dari semua kata yang panjangnya adalah jumlah kuadrat. Secara formal: Mudah untuk menunjukkan bahwa tidak teratur (misalnya dengan Pumping-Lemma). Selanjutnya, kita tahu bahwa setiap bilangan asli adalah jumlah dari empat kotak yang menyiratkan bahwa untuk semua bahasa adalah teratur karena .L k k L k = { a n ∣ n = k ∑ i = 1 n i 2$L_k$$L_k$$k$L 1 = { a n 2 ∣ n ∈ N 0 } k ≥ 4 L k L k = L ( a ∗

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

Sekarang, saya tertarik pada kasus dan :k = $k=2$$k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , .$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

Sayangnya, saya tidak dapat menunjukkan apakah bahasa ini teratur atau tidak (bahkan dengan bantuan teorema tiga persegi Legendre atau teorema Fermat dengan jumlah dua kotak ).

Saya cukup yakin bahwa setidaknya tidak teratur tetapi sayangnya berpikir bukanlah bukti. Ada bantuan?$L_2$

Mari kita mulai dengan . Diketahui bahwa densitas atas dari bilangan bulat yang merupakan jumlah dari dua kuadrat adalah 0. Jika teratur maka pada akhirnya akan periodik, dan, karena densitas atasnya adalah 0, hingga. Tapi kita tahu bahwa ada bilangan bulat besar sembarang di , sehingga tidak bisa teratur.$L_2$$L_2$$L_2$$L_2$

Mengenai , pertimbangkan kata-kata . Saya mengklaim bahwa untuk , kata-kata tidak setara. Memang, sementara . Kriteria Myhill – Nerode kemudian menunjukkan bahwa tidak teratur.$L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

Misalkan teratur. Maka komplemennya, yang menurut teorema tiga-persegi Legendre adalah . Dengan teorema Parikh , ini akan menyiratkan bahwa himpunan panjang bersifat semi-linear, yaitu serikat terbatas dari set linear .$L_3$$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$$\bigcup_{i=1}^NS_i$$S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Pertimbangkan dua elemen dengan , dan biarkan . Jika keduanya dalam sama , maka atau (tergantung pada apakah atau ). Tapi$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$$k_1>k_2$$r:=k_1-k_2$$s_1,s_2$$S_i$$2s_1-s_2$$2s_2-s_1$$s_1<s_2$$s_1>s_2$

• $2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$ , di mana ,$l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
• l ′ = 2 l 2 - 4 r l $2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$ , di mana .$l'=2l_2-4^rl_1$

Tak satu pun dari ini berada di , jadi harus berada di anggota serikat yang berbeda. Tetapi ini tidak mungkin, karena adalah gabungan yang terbatas, dan ada banyak sekali .s 1 , s 2 S $S$$s_1,s_2$$S$$k$

Karenanya, tidak teratur.$L_3$