Apakah bahasa ini didefinisikan menggunakan prima kembar biasa?

Membiarkan

$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

Apakah teratur?$L$

Pertanyaan ini tampak mencurigakan pada pandangan pertama dan saya menyadari bahwa itu terkait dengan dugaan kembar utama . Masalah saya adalah dugaan itu belum terselesaikan, jadi saya tidak yakin bagaimana saya bisa melanjutkan dengan memutuskan bahwa bahasa itu teratur.

Jika dugaan prime kembar adalah benar, maka , yang biasa. Jika dugaan utama kembar tidak benar, maka ada banyak bilangan prima kembar; memang, ada sepasang kembar bilangan prima terbesar . Dalam hal ini, L = { a n | n < p + 1 } , bahasa yang terbatas. Dalam kedua kasus, Anda mendapatkan bahasa reguler, jadi saya pikir aman untuk menyimpulkan bahwa L adalah bahasa biasa ... kami tidak akan tahu yang mana itu sampai dugaan kembar utama diselesaikan. { p , p + 2 $L = a^{*}$$\{p, p + 2\}$$L = \{a^{n} | n < p + 1\}$$L$

Ya, bahasa ini biasa saja. Dugaan kembar utama tidak perlu diselesaikan untuk melihat ini:

Misalkan dugaan prime kembar adalah benar, yaitu, untuk apa pun , kita dapat menemukan p prima ≥ n sehingga p + 2 adalah prima. Maka khususnya, L = { a n | n ∈ N } , karena kondisinya selalu benar. Bahasa terakhir ini dapat dinyatakan oleh sebuah * dan karenanya biasa.$n$$p \geq n$$p+2$$L = \{ a^n | n \in N \}$$a^*$

Misalkan dugaan utama kembar itu salah. Kemudian ada beberapa sedemikian sehingga ada beberapa prime p sehingga p + 2 adalah prima, dan untuk setiap n > N , tidak ada p sedemikian rupa sehingga p + 2 adalah prime. Dalam hal ini, L = { a n | n ≤ N } , yang merupakan bahasa yang terbatas, dan karena itu teratur.$N$$p$$p+2$$n > N$$p$$p+2$$L = \{ a^n | n \leq N \}$

Berdasarkan perbedaan kasus, kami menyimpulkan bahwa adalah reguler.$L$

Biasa dalam kedua kasus.

• Jika ada banyak bilangan prima kembar yang tak terhingga, maka .$L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
• Jika ada banyak bilangan prima kembar, maka adalah terbatas, oleh karena itu teratur.$L$