Ruang keadaan yang bisa dicapai dari 8-puzzle

Saya baru saja mulai mempelajari Kecerdasan Buatan dan bertanya-tanya mengapa ruang keadaan yang dapat dicapai dari 8-puzzle adalah $9!/2$ . Saya melihat bahwa jumlah permutasi ubin adalah $9!$tetapi tidak segera jelas mengapa setengah dari keadaan yang mungkin dari teka-teki itu tidak dapat dijangkau pada keadaan tertentu. Adakah yang bisa menjelaskan?

Gambar 8-puzzle untuk referensi dengan konfigurasi acak di sebelah kiri dan status sasaran di sebelah kanan:

Ini merupakan perluasan dari presentasi ini .

Karena grafik keadaan terdiri dari dua komponen yang terputus dengan ukuran yang sama. Tanpa kehilangan sifat umum kita dapat mengasumsikan bahwa negara target adalah .$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

Mengingat keadaan suatu inversi permutasi adalah genteng T i yang ditempatkan setelah T j tapi i < j ; ini terjadi ketika (a) T i adalah di baris yang sama dari T j , tapi di kanan, atau (b) T i adalah berturut-turut lebih rendah:$S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

Kami mendefinisikan sebagai jumlah ubin T i , i < j yang muncul setelah T j . Misalnya, di negara bagian:$N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

kami memiliki bahwa setelah ada satu ubin ( T 6 ) yang seharusnya sebelum itu, jadi N 7 = 1 ; setelah T 10 ada empat ubin ( T 7 , T 8 , T 9 , T 6 ) yang seharusnya ada sebelum itu, jadi N 10 = 4 .$T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

Misalkan adalah jumlah semua N i dan nomor baris dari ubin kosong T $N$$N_i$$T_{\Box}$

Dalam contoh di atas kita memiliki: $N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

Sebagai contoh:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

Kita dapat menyimpulkan bahwa ruang keadaan dibagi menjadi dua bagian terputus , satu memiliki dan yang lainnya memiliki .$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

Misalnya, dua negara berikut ini tidak terhubung:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5