Heap - Berikan

Kemungkinan besar, pertanyaan ini diajukan sebelumnya. Ini dari masalah CLRS (2nd Ed) 6.5-8 -

Berikan algoritma waktu untuk menggabungkan$O(n \lg k)$$k$ diurutkan daftar menjadi satu daftar diurutkan, di mana adalah jumlah total elemen dalam semua daftar masukan. (Petunjuk: Gunakan min-heap untuk penggabungan k -way.)$n$$k$

Karena ada daftar diurutkan dan total nilai n , mari kita asumsikan setiap daftar berisi $k$$n$ angka, apalagi masing-masing daftar diurutkan dalam urutan naik, dan hasilnya juga akan disimpan dalam urutan naik.$\frac{n}{k}$

Kode semu saya terlihat seperti ini -

    list[k]   ; k sorted lists
    heap[k]   ; an auxiliary array to hold the min-heap
    result[n] ; array to store the sorted list
    for i := 1 to k                 ; O(k)
    do
        heap[i] := GET-MIN(list[i]) ; pick the first element 
                                    ; and keeps track of the current index - O(1)
    done
    BUILD-MIN-HEAP(heap) ; build the min-heap - O(k)
    for i := 1 to n
    do
        array[i] := EXTRACT-MIN(heap)   ; store the min - O(logk)
        nextMin := GET-MIN(list[1])     ; get the next element from the list 1 - O(1)
        ; find the minimum value from the top of k lists - O(k)
        for j := 2 to k                 
        do
            if GET-MIN(list[j]) < nextMin
                nextMin := GET-MIN(list[j]) 
        done
        ; insert the next minimum into the heap - O(logk)
        MIN-HEAP-INSERT(heap, nextMin)
    done

Kompleksitas keseluruhan saya menjadi . Saya tidak dapat menemukan cara untuk menghindari loop O ( k ) di dalam O ( n $O(k) + O(k) + O(n(k + 2 \lg k)) \approx O(nk+n \lg k) \approx O(nk)$$O(k)$$O(n)$lingkaran untuk menemukan elemen minimum berikutnya dari daftar k. Apakah ada jalan lain? Bagaimana cara mendapatkan algoritma ?$O(n \lg k)$

Tujuan dari heap adalah untuk memberi Anda minimum, jadi saya tidak yakin apa tujuan dari for-loop ini - for j := 2 to k.

Pandangan saya tentang pseudo-code:

lists[k][?]      // input lists
c = 0            // index in result
result[n]        // output
heap[k]          // stores index and applicable list and uses list value for comparison
                 // if i is the index and k is the list
                 //   it has functions - insert(i, k) and deleteMin() which returns i,k
                 // the reason we use the index and the list, rather than just the value
                 //   is so that we can get the successor of any value

// populate the initial heap
for i = 1:k                   // runs O(k) times
  heap.insert(0, k)           // O(log k)

// keep doing this - delete the minimum, insert the next value from that list into the heap
while !heap.empty()           // runs O(n) times
  i,k = heap.deleteMin();     // O(log k)
  result[c++] = lists[k][i]
  i++
  if (i < lists[k].length)    // insert only if not end-of-list
    heap.insert(i, k)         // O(log k)

Jadi total kompleksitas waktu adalah $O(k * \log k + n * 2 \log k) = O(n \log k)$

Anda juga dapat, alih-alih deleteMindan insert, memiliki getMin( ) dan ( O ( log k ) ), yang akan mengurangi faktor konstan, tetapi bukan kompleksitasnya.$O(1)$incrementIndex$O(\log k)$

Contoh:
(menggunakan nilai daripada indeks dan daftar indeks dan tumpukan diwakili sebagai array yang diurutkan untuk kejelasan)

Input: [1, 10, 15], [4, 5, 6], [7, 8, 9]

Initial heap: [1, 4, 7]

Delete 1, insert 10
Result: [1]
Heap: [4, 7, 10]

Delete 4, insert 5
Result: [1, 4]
Heap: [5, 7, 10]

Delete 5, insert 6
Result: [1, 4, 5]
Heap: [6, 7, 10]

Delete 6, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6]
Heap: [7, 10]

Delete 7, insert 8
Result: [1, 4, 5, 6, 7]
Heap: [8, 10]

Delete 8, insert 9
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8]
Heap: [9, 10]

Delete 9, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Heap: [10]

Delete 10, insert 15
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Heap: [15]

Delete 15, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15]
Heap: []

Done

$n/k$

Adapun masalah Anda, algoritma berikut harus melakukan trik:

1. $H$$k$$l_m$$O(k\lg k)$
2. $i$$1$$n$
   • $m$$H$$result[i]$$O(\lg k)$
   • $m$$l_m$$H$$O(\lg k)$

$O(k\lg k + n \lg k)=O(n\lg k)$$result$

$i$$result$$H$$i$$result[1..i]$$i$

$result$$H$$result$$r_1$$l$$r_1$$l[1]$$r_1$$r_1$$l[1] < r_1$$r_1$$result$

$i$$r_i$$H$$H$$m$$l$$l$$H$$result$$r_i$$m$$l$$l$

$result[1..n]$