Teorema harapan total untuk proses Poisson

8

Saya memiliki dua proses Poisson independen dan dengan tingkat kedatangan dan . Sekarang, waktu yang diharapkan untuk kedatangan item berikutnya untuk proses penggabungan adalah .ABλAλB1λA+λB

Menganggap sebagai waktu kedatangan untuk item selanjutnya dari proses gabungan, dan atau sebagai peristiwa di mana item-item tersebut berasal dari proses atau , menggunakan hukum ekspektasi total, kita dapatkanTA+B{X=A}{X=B}AB

E(TA+B)=E(TA+BX=A)P[X=A]+E(TA+BX=B)P[X=B]=1λAλAλA+λB+1λBλBλA+λB=2λA+λB
Apa yang saya lakukan salah? Terima kasih.
user90476
sumber
3
Masalah ini tampaknya bahwa ekspektasi bersyarat tidak setelah Anda tahu bahwa kedatangan pertama adalah dari proses . E[TX=A]1/aA
heropup
2
@heropup Terima kasih atas tanggapannya. Mengingat distribusi eksponensial waktu kedatangan berikutnya, saya tidak yakin mengapa itu tidak boleh . 1λA
user90476

Jawaban:

6

heropup benar. Masalahnya adalah bahwa sekali Anda tahu bahwa , bukan hanya diambil dari eksponensial dengan tingkat karena Anda juga tahu bahwa nilai sampel harus cukup kecil untuk memenangkan perbandingan dengan nilai sampel hipotetis dari .X=AXλAB

Jadi, kerapatan yang diberikan bahwa adalah produk pointwise yang dinormalisasi ulang dari kerapatan eksponensial dengan rate dan cdf kanan eksponensial dengan rate . Ini memberikan kepadatan eksponensial dengan tingkat . Begitu:X=AλAλBλA+λB

E(TA+B)=E(TA+BX=A)P[X=A]+E(TA+BX=B)P[X=B]=1λA+λBλAλA+λB+1λA+λBλBλA+λB=1λA+λB
seperti yang diinginkan.
Neil G
sumber
1

Pr(TA+B>tX=A)=Pr(TA+B>t & X=A)Pr(X=A)(1)=Pr(t<TA<TB)Pr(X=A),
and Pr(t<TA<TB)=t(ueλAueλBv(λBdv))(λAdu)=teλAueλBu(λAdu)=e(λA+λB)tλAλA+λB.
Oleh karena itu ekspresi pada baris sama dengan yang sama dengan(1)e(λA+λB)t,Pr(TA+B>t).

Dengan demikian peristiwa dan sebenarnya independen.[TA+B>t][X=A]

Michael Hardy
sumber