Cara menurunkan kesalahan standar koefisien regresi linier

Untuk model regresi linier univariat ini diberikan kumpulan data , estimasi koefisien adalah Inilah pertanyaan saya, sesuai dengan buku dan Wikipedia , kesalahan standar adalah Bagaimana dan mengapa? D = { ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( X n , y n ) } β 1 = Σ i x i y i - n ˉ x ˉ

$$y_i = \beta_0 + \beta_1x_i+\epsilon_i$$ $D=\{(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$ $$\hat\beta_1=\frac{\sum_ix_iy_i-n\bar x\bar y}{n\bar x^2-\sum_ix_i^2}$$ $$\hat\beta_0=\bar y - \hat\beta_1\bar x$$ $\hat\beta_1$ $$s_{\hat\beta_1}=\sqrt{\frac{\sum_i\hat\epsilon_i^2}{(n-2)\sum_i(x_i-\bar x)^2}}$$

3 komentar di atas: Saya sudah mengerti bagaimana ini bisa terjadi. Tetapi masih ada pertanyaan: dalam posting saya, kesalahan standar memiliki (n − 2), di mana menurut jawaban Anda, tidak, mengapa?

---

Dalam posting saya , ditemukan bahwa

$$\widehat{\text{se}}(\hat{b}) = \sqrt{\frac{n \hat{\sigma}^2}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}}.$$ Penyebutnya dapat ditulis sebagai $$n \sum_i (x_i - \bar{x})^2$$ Jadi, $$\widehat{\text{se}}(\hat{b}) = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum_i (x_i - \bar{x})^2}}$$

Dengan

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-2} \sum_i \hat{\epsilon}_i^2$$ yaitu Mean Square Error (MSE) pada tabel ANOVA, kami berakhir dengan ekspresi Anda untuk $\widehat{\text{se}}(\hat{b})$ . Istilah $n-2$ bertanggung jawab atas hilangnya 2 derajat kebebasan dalam estimasi intersep dan lereng.

Cara lain untuk berpikir tentang n-2 df adalah karena kita menggunakan 2 cara untuk memperkirakan koefisien kemiringan (rata-rata Y dan X)

df dari Wikipedia: "... Secara umum, derajat kebebasan estimasi parameter sama dengan jumlah skor independen yang masuk ke dalam estimasi dikurangi jumlah parameter yang digunakan sebagai langkah perantara dalam estimasi parameter itu sendiri . "