Jawaban singkatnya adalah Anda baik-baik saja, tetapi γ Anda salah. Untuk mendapatkan distribusi stabil positif yang diberikan oleh rumus Anda di R, Anda harus menetapkan
γ = | 1 - i tan ( π α / 2 ) | - 1 / α .δγ
γ=|1−itan(πα/2)|−1/α.
Contoh paling awal yang dapat saya temukan dari formula yang Anda berikan ada di (Feller, 1971), tetapi saya hanya menemukan buku itu dalam bentuk fisik. Namun (Hougaard, 1986) memberikan rumus yang sama, bersama dengan Transformasi Laplace
Dari manual ( digunakan dalam ), the
L (s)= E [ exp( - s X) ] = exp( - sα) .
stabledist
stabledist
fBasics
pm=1
parameterisasi adalah dari (Samorodnitsky dan Taqqu, 1994), sumber daya lain yang reproduksi daringnya telah menghindarkan saya. Namun (Weron, 2001) memberikan fungsi karakteristik dalam Samorodnitsky dan parameterisasi Taqqu untuk
menjadi
φ ( t ) = E [ exp ( i t X ) ] = exp [ i δ t - γ α | t | α ( 1 - i β s i g n ( t )α ≠ 1
Saya telah mengganti nama beberapa parameter dari kertas Weron menjadi coinide dengan notasi yang kami gunakan. Dia menggunakan
μuntuk
δdan
σuntuk
γ. Bagaimanapun, memasukkan
β=1dan
δ=0, kita mendapatkan
φ(t)=exp[-γα| t| α(1-isign(t)tanπαφ ( t ) = E [ exp( i t X) ] = exp[ i δt - γα| t |α( 1 - i βs i g n (t)tanπα2) ] .
μδσγβ= 1δ= 0φ ( t ) = exp[ - γα| t |α( 1 - i s i g n ( t ) tanπα2) ] .
Perhatikan bahwa untuk α ∈ ( 0 , 1 ) dan i α = exp ( i π α / 2 ) . Secara formal, L( 1 - i tan( πα / 2 ) ) / | 1 - i tan( πα / 2 ) | = exp( - i πα / 2 )α ∈ ( 0 , 1 )sayaα= exp( i πα / 2 ) , jadi dengan mengatur γ = | 1 - i tan ( π α / 2 ) | - 1 / α dalam φ ( t ) kita dapatkan
φ ( i s ) = exp ( - s α ) = L ( s ) .
Satu hal yang menarik untuk dicatat adalah bahwa γL (s)=φ(is)γ= | 1 - i tan( πα / 2 ) |- 1 / αφ ( t )
φ(is)=exp(−sα)=L(s).
γyang bersesuaian dengan
juga
1 / 2 , jadi jika Anda mencoba
γ = α atau
γ = 1 - α , yang sebenarnya bukan pendekatan yang buruk, Anda berakhir tepat benar untuk
α = 1 / 2 .
α=1/21/2γ=αγ=1−αα=1/2
Berikut ini contoh dalam R untuk memeriksa kebenaran:
library(stabledist)
# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
k <- 1:K
return(
-1 / (pi * x) * sum(
gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) *
(-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
)
)
}
# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
iu <- complex(real=0, imaginary=1)
return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}
x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='',
xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7),
labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
expression(paste(alpha, " = 0.5")),
expression(paste(alpha, " = 0.6"))))
for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1),
col="black", lwd=2, lty=2)
}
- Feller, W. (1971). Pengantar Teori Probabilitas dan Penerapannya , 2 , 2nd ed. New York: Wiley.
- Hougaard, P. (1986). Model Kelangsungan Hidup untuk Populasi Heterogen Berasal dari Distribusi Stabil , Biometrika 73 , 387-396.
- Samorodnitsky, G., Taqqu, MS (1994). Proses Acak Non-Gaussian Stabil , Chapman & Hall, New York, 1994.
- Weron, R. (2001). Distribusi Levy-stable ditinjau kembali: indeks ekor> 2 tidak mengecualikan rezim Levy-stable , International Journal of Modern Physics C, 2001, 12 (2), 209-223.
Apa yang saya pikirkan sedang terjadi adalah bahwa dalam output
delta
mungkin melaporkan nilai lokasi internal, sedangkan dalam inputdelta
menggambarkan pergeseran. [Sepertinya ada masalah yang sama dengangamma
kapanpm=2
.] Jadi jika Anda mencoba meningkatkan shift menjadi 2maka Anda menambahkan 2 ke nilai lokasi.
Dengan
beta=1
danpm=1
Anda memiliki variabel acak positif dengan batas bawah distribusi pada 0.Bergeser 2 dan batas bawah naik dengan jumlah yang sama
Tetapi jika Anda ingin
delta
input menjadi nilai lokasi internal daripada pergeseran atau batas bawah, maka Anda perlu menggunakan spesifikasi yang berbeda untuk parameter. Misalnya jika Anda mencoba yang berikut ini (denganpm=3
dan mencobadelta=0
dan yangdelta=0.290617
Anda temukan sebelumnya), Anda sepertinya mendapatkan yangdelta
masuk dan keluar yang sama. Denganpm=3
dandelta=0.290617
Anda mendapatkan kerapatan yang sama dengan 0,02700602 yang Anda temukan sebelumnya dan batas bawah pada 0. Denganpm=3
dandelta=0
Anda mendapatkan batas bawah negatif (pada kenyataannya -0.290617).Anda mungkin merasa lebih mudah untuk mengabaikan
delta
dalam output, dan selama Anda tetapbeta=1
menggunakanpm=1
berartidelta
dalam input adalah distribusi batas bawah, yang tampaknya Anda ingin menjadi 0.sumber
Juga dari catatan: Martin Maechler hanya refactored kode untuk distabilkan yang didistribusikan dan menambahkan beberapa perbaikan.
Stabilis paket barunya akan digunakan oleh fBasics juga, jadi Anda mungkin ingin melihatnya juga.
sumber