Apakah distribusi memiliki nama?

Saya berlari melintasi kepadatan ini beberapa hari yang lalu. Apakah ada yang memberi nama ini?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Kepadatannya tak terbatas pada asal dan juga memiliki ekor yang gemuk. Saya melihatnya digunakan sebagai distribusi sebelumnya dalam konteks di mana banyak pengamatan diharapkan kecil, meskipun nilai-nilai besar juga diharapkan.

distributions probability John D. Cook
sumber

karena penasaran, apakah Anda mendapat kutipan untuk sumber di mana Anda melihat ini awalnya?

JMS

JMS: "Pengukur tapal kuda untuk sinyal jarang" oleh Carvalho, Polson, dan Scott. Saya melihatnya sebagai pracetak, tetapi mungkin sudah diterbitkan di Biometrika sekarang. Mereka tidak benar-benar menggunakan ini sebelumnya, tetapi kepadatan di atas adalah perkiraan untuk kasus khusus sebelumnya.

John D. Cook

Sudah dipublikasikan: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

Fabian

Kasus khusus apa yang Anda kira? Saya sudah membacanya, tetapi tidak dapat benar-benar menghubungkan ekspresi Anda dengan ekspresi yang diberikan di koran ...?

Fabian

@fabians: Kasus yang ada dalam pikiran saya adalah sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 dalam Teorema 1. Dikatakan kepadatan tapal kuda dibatasi di atas dan di bawah ini dengan banyak log (1 + c / x ^ 2). Jadi mungkin distribusi yang saya sebutkan di atas lebih merupakan penyederhanaan kepadatan tapal kuda daripada perkiraan.

John D. Cook

Jawaban:

Memang, bahkan momen pertama tidak ada. CDF dari distribusi ini diberikan oleh

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

untuk dan, berdasarkan simetri, untuk . Baik ini maupun transformasi yang jelas tidak terlihat akrab bagi saya. (Fakta bahwa kita dapat memperoleh formulir tertutup untuk CDF dalam hal fungsi-fungsi dasar sudah sangat membatasi kemungkinan, tetapi sifat yang agak kabur dan rumit dari formulir tertutup ini dengan cepat mengesampingkan distribusi standar atau transformasi power / log / eksponensial / trigonometri dari mereka. Arctangent adalah, tentu saja, CDF dari distribusi Cauchy (Student ), menunjukkan CDF ini sebagai versi (yang secara substansial) terganggu dari distribusi Cauchy, ditampilkan sebagai garis merah.) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

masukkan deskripsi gambar di sini

whuber
sumber

@whuber, catat bahwa , yang menghubungkan bentuk cdf lebih dekat dengan pdf . Menarik juga untuk dicatat bahwa pdf ini asimtotik untuk setengah pdf standar Cauchy. Jadi, alasan utama penggunaannya tampaknya karena perilakunya sekitar 0.

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

kardinal

@whuber, meskipun saya pikir saya melihat dari mana Anda berasal sehubungan dengan pernyataan Anda tentang cdf yang memiliki formulir tertutup (petunjuk: Louiville), saya akan mendorong hati-hati dengan pernyataan itu. Distribusi Cauchy sendiri adalah "contoh tandingan" dalam hal itu.

kardinal

@ cardinal Saya tidak mengerti maksud dari komentar Anda tentang distribusi Cauchy. Saya hanya menggunakan bentuk CDF sebagai heuristik untuk mempersempit pencarian dan sebagai target untuk pencarian. CDF sedikit lebih nyaman daripada PDF karena lebih mudah untuk melihat bagaimana itu akan berubah ketika variabel diubah. Dan ya, hubungan yang Anda catat jelas, tetapi saya memilih untuk menulis CDF dalam bentuk ini karena keberadaan arctangent dalam istilah lain (yang menunjukkan substitusi x = tan (u)).

whuber

@whuber, yah mungkin saya lebih baik meminta klarifikasi daripada berasumsi. Apa pendapat Anda tentang komentar Anda bahwa formulir tertutup cdf sangat membatasi kemungkinan?

kardinal

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

Mungkin tidak.

Saya tidak dapat menemukannya di daftar distribusi yang cukup luas ini:

Leemis dan McQuestion 2008 Hubungan Distribusi Univariat. Statistik Amerika 62 (1) 45:53

Abe
sumber