Apa hipotesis NULL untuk interaksi dalam ANOVA dua arah?

Katakanlah kita memiliki dua faktor (A dan B), masing-masing dengan dua level (A1, A2 dan B1, B2) dan variabel respons (y).

Saat melakukan ANOVA dua arah dari jenis:

y~A+B+A*B

Kami menguji tiga hipotesis nol:

1. Tidak ada perbedaan dalam faktor faktor A
2. Tidak ada perbedaan dalam faktor faktor B
3. Tidak ada interaksi antara faktor A dan B

Ketika ditulis, dua hipotesis pertama mudah dirumuskan (untuk 1 itu adalah $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$ )

Tetapi bagaimana hipotesis 3 harus dirumuskan?

sunting : dan bagaimana ia dirumuskan untuk kasus lebih dari dua tingkatan?

Terima kasih.

Saya pikir penting untuk memisahkan dengan jelas hipotesis dan uji yang terkait. Untuk berikut ini, saya menganggap seimbang, antara-subyek CRF- desain (ukuran sel yang sama, notasi Kirk: Acak Lengkap faktorial desain).$pq$

i j A k B 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ p 1 ≤ k ≤ q Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$ adalah pengamatan dalam pengobatan dari faktor dan pengobatan dari faktor dengan , dan . Modelnya adalah$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Desain: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

j k ϵ i ( j k ) i ( ) j k $\mu_{jk}$ adalah nilai yang diharapkan dalam sel , adalah kesalahan yang terkait dengan pengukuran orang dalam sel itu. The notasi menunjukkan bahwa indeks tetap untuk setiap diberikan orang karena orang yang diamati hanya dalam satu kondisi. Beberapa definisi untuk efek:$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ (nilai rata-rata yang diharapkan untuk perawatan dari faktor )$j$$A$

$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ (nilai rata-rata yang diharapkan untuk perawatan dari faktor )$k$$B$

$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (pengaruh perlakuan dari faktor , )A ∑ p j = 1 α j = $j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (efek perlakuan dari faktor , )B ∑ q k = 1 β k = $k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(efek interaksi untuk kombinasi perlakuan faktor dengan perlakuan faktor ,A k B ∑ p j = 1 ( α β ) j k$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(efek utama bersyarat untuk pengobatan dari faktor dalam perawatan tetap dari faktor ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(efek utama bersyarat untuk pengobatan dari faktor dalam pengobatan tetap dari faktor ,$k$$B$$j$$A$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

Dengan definisi ini, model juga dapat ditulis sebagai: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

Ini memungkinkan kami untuk mengekspresikan hipotesis nol dari tidak ada interaksi dalam beberapa cara yang setara:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (semua istilah interaksi individu adalah , sehingga . Ini berarti bahwa efek perawatan dari kedua faktor - sebagaimana didefinisikan di atas - adalah aditif di mana-mana.)$0$$\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (semua efek utama bersyarat untuk setiap perlakuan dari faktor adalah sama, dan oleh karena itu sama dengan . Ini pada dasarnya adalah jawaban Dason.)$j$$A$$\alpha_{j}$

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (semua efek utama bersyarat untuk setiap perlakuan dari faktor adalah sama, dan oleh karena itu sama dengan .)$k$$B$$\beta_{k}$

4. $H_{0_{I}}$ : Dalam diagram yang menunjukkan nilai yang diharapkan dengan tingkat faktor pada -aksi dan tingkat faktor digambar sebagai garis yang terpisah, garis yang berbeda adalah paralel.$\mu_{jk}$$A$$x$$B$$q$

Interaksi memberi tahu kita bahwa tingkat faktor A memiliki efek yang berbeda berdasarkan pada tingkat faktor B apa yang Anda terapkan. Jadi kita dapat menguji ini melalui kontras linier. Misalkan C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) di mana A1B1 adalah singkatan dari rata-rata grup yang menerima A1 dan B1 dan seterusnya. Jadi di sini kita melihat A1B1 - A1B2 yang merupakan efek yang dimiliki faktor B ketika kita menerapkan A1. Jika tidak ada interaksi, ini harus sama dengan efek B ketika kita menerapkan A2: A2B1 - A2B2. Jika itu sama maka selisihnya harus 0 sehingga kita bisa menggunakan tes:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$