Untuk distribusi apa yang dipangkas berarti penaksir kemungkinan maksimum?

Sampel rata-rata adalah penduga kemungkinan maksimum $\mu$ untuk distribusi normal $\text{Normal}(\mu,\sigma)$. Median sampel adalah penaksir kemungkinan maksimum sebesar$m$untuk distribusi Laplace $\text{Laplace}(m,s)$ (Juga disebut distribusi eksponensial ganda).

Apakah distribusi ada dengan parameter lokasi yang berarti rata-rata sampel yang dipangkas adalah penaksir kemungkinan maksimum?

Distribusi, jika ada, diperoleh sebagai integral dari persamaan estimasi. Mari kita asumsikan untuk kesederhanaan bahwa parameter skala diketahui, dan parameter pemangkasan, jika ada, diperbaiki.

1. Untuk mean sampel, persamaan estimasi adalah $${\rm E}(x-\mu)=0.$$ Membayangkan bahwa ini adalah turunan dari log-kemungkinan, dengan banyak sekali penyalahgunaan notasi dan kehilangan ketelitian, kami memiliki $$\frac{{\rm d}\ln l(\mu;x)}{{\rm d}\mu} = x-\mu, \quad \ln l(\mu;x) = a (x-\mu)^2, \quad l(\mu;x) \propto \exp[ a(x-\mu)^2],$$ Dimana $a$ parameter (konstanta integrasi) harus negatif untuk memastikan bahwa ia berintegrasi ke sesuatu yang bermakna.
2. Untuk median sampel, persamaan estimasi adalah $${\rm E \, sign}(x-\mu)=0.$$ Integrasikan ini untuk mendapatkan $$l(\mu;x) \propto \exp[ a|x-\mu| ],$$ di mana lagi kita harus memilih $a$ menjadi negatif masuk akal.
3. Untuk mean yang dipangkas, persamaan estimasi adalah $${\rm E}\rho(x,\mu,c) = 0, \quad \rho(x,\mu,c) = \left\{ \begin{array}{ll} x-\mu, & |x-\mu|\le c, \\ 0, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$$ Mari kita lihat apa yang diintegrasikan ke: $$l(\mu;x, c) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp[ a(x-\mu)^2], & |x-\mu|\le c, \\ b, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$$ Tampak seperti normal yang disensor di tengah, tetapi lihat ekornya: mereka tidak tepat jika $b>0$. Jadi untuk mendapatkan distribusi yang tepat, kita harus mengatur$b=0$. Tetapi kemudian kita memiliki inkonsistensi logis: distribusi ini harus memberikan nol pdf untuk beberapa data aktual dalam ekor yang dipangkas. Ini kontradiktif dengan diri sendiri, dan menunjukkan beberapa efek samping pemangkasan yang tidak diinginkan.

Kadang-kadang, menguntungkan untuk membangun "kemungkinan" dari suatu metode untuk menunjukkan normalitas asimptotiknya, dan efisiensi untuk kelas distribusi yang sempit. Secara umum, normalitas asimptotik dari rata yang dipangkas dapat mengikuti dari teori$M$- perkiraan.

Kasus-kasus khusus seperti median samping, saya tidak berpikir bahwa cara yang dipangkas umumnya ML; jika ya, mereka sudah menjadi semacam penaksir-M. Namun, jika Anda mengambil distribusi yang normal di tengah dengan, katakanlah, ekor eksponensial - distribusi yang sesuai dengan penaksir Huber M - maka untuk tingkat pemangkasan tertentu, mean yang dipangkas akan diharapkan menjadi sangat efisien.