Mengapa estimator harus independen dari parameter?

Anda benar bahwa setiap estimator yang masuk akal akan menjadi fungsi (tidak konstan) dari data (kecuali dalam beberapa kasus khusus, yang bisa dibilang patologis, seperti contoh saya di sini ). Jadi, benar untuk mengatakan bahwa penduga yang masuk akal tergantung pada melalui ketergantungannya pada data. Tapi, saya cukup yakin semua itu maksud dengan kalimat itu $\theta$

Tunjukkan bahwa memang merupakan penaksir - bahwa itu adalah fungsi dari yang tidak bergantung pada $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

adalah rumus untuk penaksir tidak dapat berisi parameter. Ini untuk mengecualikan hal-hal seperti , yang akan menjadi penaksir yang sempurna (bahkan jika Anda tidak memiliki data !!) tetapi Anda harus menjadi peramal untuk menghitungnya :-) $\hat{\theta} = \theta$

Seperti disebutkan dalam bagian yang Anda tempel, karena adalah statistik yang cukup, distribusi statistik apa pun, misalnya , tergantung pada , tidak akan bergantung pada . Oleh karena itu, tidak dapat bergantung pada , memastikan bahwa properti tersebut akan dipertanyakan. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

Makro
sumber

+1 Pertanyaan ini mengungkap ambiguitas yang menarik dalam bahasa buku teks (yang diterima dengan baik, populer) ini: "bergantung pada

" dapat berarti setidaknya tiga hal berbeda! (1)

tidak muncul secara eksplisit dalam rumus. (2) Meskipun

mungkin muncul dalam rumus, formula adalah invarian perubahan

. (3)

dipandang sebagai variabel acak (mungkin konstan) dan "ketergantungan" dapat dimaksudkan dalam arti ketergantungan variabel acak. Sayangnya, upaya klarifikasi ("distribusi ... tidak melibatkan

") terlalu samar untuk banyak membantu.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

whuber

Hai @whuber - Saya tidak yakin apa yang Anda maksud dengan (2). Saya mencoba memikirkan penaksir yang memiliki properti itu. Apakah Anda bermaksud bahwa cara Anda menghitung estimator akan sama terlepas dari

? Itu tampaknya setara dengan

tidak muncul dalam rumus. Kalau tidak, Anda akan perlu menjadi peramal untuk menghitung estimator, kan? Jika Anda bermaksud invarian dalam arti bahwa nilai numerik estimator tetap sama terlepas dari nilai

maka itu tidak terdengar seperti estimator yang sangat baik :-) Bisakah Anda mengklarifikasi?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Makro

Ini perbedaan yang halus, tetapi nyata. Sebagai contoh sepele, setelah mengamati

keberhasilan dalam

IID percobaan Binomial dengan parameter

, jelas

muncul dalam (diterima) estimator "

," tetapi itu tetap berlaku karena tidak berbeda dengan

. Lebih halus (dan masih trivial) dalam masalah pengambilan sampel normal iid, estimator

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

tidak hanya melibatkan

namun sebenarnya bervariasi dengan itu - namunkesempatanitu tidak konstan adalah nol dan

adalah sebagai baik karena mereka datang.

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

whuber

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

Mengapa estimator harus independen dari parameter?

Jawaban: