Apakah sampel kurtosis bias tanpa harapan?

Saya melihat sampel kurtosis dari variabel acak yang cukup miring, dan hasilnya tampak tidak konsisten. Untuk sekadar menggambarkan masalahnya, saya melihat contoh kurtosis RV normal log. Dalam R (yang perlahan saya pelajari):

library(moments); 

samp_size = 2048;
n_trial = 4096;

kvals <- rep(NA,1,n_trial); #preallocate
for (iii in 1:n_trial) {
    kvals[iii] <- kurtosis(exp(rnorm(samp_size)));
}
print(summary(kvals));

Ringkasan yang saya dapatkan adalah

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  11.87   28.66   39.32   59.17   61.70 1302.00 

Menurut Wikipedia , kurtosis untuk RV log-normal ini harus sekitar 114. Jelas sampel kurtosis bias.

Melakukan penelitian saya menemukan bahwa sampel kurtosis bias untuk ukuran sampel kecil. Saya menggunakan estimator 'G2' yang disediakan oleh e1071paket di CRAN, dan mendapatkan hasil yang sangat mirip untuk ukuran sampel ini.

Pertanyaannya : manakah dari karakter berikut yang mencirikan apa yang terjadi:

1. Kesalahan standar dari kurtosis sampel sangat besar untuk RV ini (meskipun perkiraan umum gelombang tangan dari kesalahan standar adalah sesuai urutan). $1/\sqrt{n}$). Atau, saya menggunakan terlalu sedikit sampel (2048) dalam penelitian ini.
2. Implementasi kurtosis sampel ini menderita dari masalah numerik yang dapat diperbaiki dengan metode Terriberry misalnya (dalam banyak cara yang sama bahwa metode Welford memberikan hasil yang lebih baik daripada metode naif untuk varians sampel).
3. Saya salah menghitung kurtosis populasi. (Aduh)
4. Kurtosis sampel pada dasarnya bias dan Anda tidak pernah dapat memperbaikinya untuk ukuran sampel sekecil itu.

Ada koreksi bias . Itu tidak besar. Saya percaya varians pengambilan sampel dari kurtosis sebanding dengan momen sentral kedelapan (!), Yang bisa sangat besar untuk distribusi lognormal. Anda akan membutuhkan jutaan percobaan (atau lebih banyak) dalam simulasi untuk mendeteksi bias kecuali CV kecil. (Plot histogram kval untuk melihat seberapa condongnya mereka.)

Kurtosis yang benar memang sekitar 113.9364.

Sejauh gaya R berjalan, akan lebih mudah untuk merangkum simulasi dalam suatu fungsi sehingga Anda dapat dengan mudah memodifikasi ukuran sampel atau jumlah percobaan.

[Just on the R Style - @whuber telah menjawab Kurtsosis Q]

Ini agak terlalu rumit untuk dimasukkan dalam komentar. Untuk loop sederhana seperti yang Anda gunakan, kami dapat menggabungkan saran @ whuber untuk mengenkapsulasi simulasi dalam suatu fungsi dengan replicate()fungsi tersebut. replicate()mengurus alokasi dan menjalankan loop untuk Anda. Contoh diberikan di bawah ini:

require(moments)
foo <- function(size, trials, meanlog = 0, sdlog = 1) {
    replicate(trials,
              kurtosis(rlnorm(size, meanlog = meanlog, 
                              sdlog = sdlog)))
}

Kami menggunakannya seperti ini:

> set.seed(1)
> out <- foo(2048, 10000)
> summary(out)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  10.93   28.77   39.99   62.53   62.58 1557.00

Perhatikan bahwa saya menggunakan rlnorm()fungsi untuk menghasilkan variabel acak log-normal. Ini sama dengan exp(rnorm())di loop Anda tetapi menggunakan alat yang benar, dan kami mengizinkan fungsi kami meneruskan parameter yang ditentukan pengguna dari distribusi log-normal.

> set.seed(123)
> exp(rnorm(1))
[1] 0.5709374
> set.seed(123)
> rlnorm(1)
[1] 0.5709374