Ukuran tes dan tingkat signifikansi

Misalkan Anda memiliki sampel acak $X_1,\dots,X_n$ dari distribusi yang melibatkan parameter $\theta$ yang mengasumsikan nilai dalam ruang parameter $\Theta$ . Anda mempartisi ruang parameter sebagai $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$ , dan Anda ingin menguji hipotesis

H_{0} : θ \in Θ_{0},

$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$

H_{1} : θ \in Θ_{1},

$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$ yang disebut null dan hipotesis alternatif , masing-masing.

Biarkan menunjukkan ruang sampel dari semua nilai yang mungkin dari vektor acak . Tujuan Anda dalam membangun prosedur pengujian adalah untuk mempartisi ruang sampel ini menjadi dua bagian: wilayah kritis , yang berisi nilai-nilai mana Anda akan menolak hipotesis nol (dan, karenanya, menerima alternatif ), dan wilayah penerimaan , yang berisi nilai-nilai yang Anda tidak akan menolak hipotesis nol (dan, karenanya, menolak alternatif ). $\mathscr{X}$ $X=(X_1,\dots,X_n)$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$ $X$ $H_0$ $H_1$ $\mathscr{A}$ $X$ $H_0$ $H_1$

Secara formal, prosedur pengujian dapat digambarkan sebagai fungsi yang dapat diukur , dengan interpretasi yang jelas dalam hal keputusan yang dibuat untuk masing-masing hipotesis. Wilayah kritis adalah , dan wilayah penerimaan adalah . $\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$ $\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$ $\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Untuk setiap prosedur pengujian , kami mendefinisikan fungsi oleh Dengan kata lain, memberi Anda probabilitas untuk menolak ketika nilai parameter adalah . $\varphi$ $\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

π_{φ} (θ) = Pr (φ (X) = 1 ∣ θ) = Pr (X \in C ∣ θ) .

$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$

π_{φ} (θ)

$\pi_\varphi(\theta)$

H_{0}

$H_0$

θ

$\theta$

Keputusan untuk menolak ketika adalah salah . Jadi, untuk masalah yang diberikan, Anda mungkin ingin mempertimbangkan hanya prosedur pengujian itu yang , untuk setiap , di mana adalah beberapa level dari signifikansi ( ). Perhatikan bahwa tingkat signifikansi adalah properti dari kelas prosedur pengujian. Kita dapat menggambarkan kelas ini secara tepat sebagai $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $\varphi$ $\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$ $\theta\in\Theta_0$ $\alpha$ $0<\alpha<1$

T_{α} = {φ \in {0, 1}^{X} : π_{φ} (θ) \leq α, for every θ \in Θ_{0}} .

$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$

Untuk setiap prosedur uji individual , probabilitas maksimum dari penolakan salah disebut ukuran prosedur pengujian . $\varphi$ $\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$ $H_0$ $\varphi$

Ini mengikuti langsung dari definisi ini bahwa, setelah kami menetapkan tingkat signifikansi , dan karenanya menentukan kelas prosedur pengujian yang dapat diterima, setiap prosedur pengujian dalam kelas ini akan memiliki ukuran , dan sebaliknya. Secara ringkas, jika dan hanya jika . $\alpha$ $\mathscr{T}_{\alpha}$ $\varphi$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$ $\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$

Zen
sumber

Wow. Terima kasih atas semua upaya yang Anda investasikan dalam jawaban ini.

asb

Saya datang ke sini untuk belajar tentang ukuran vs level dan meninggalkan pemahaman pengujian hipotesis secara keseluruhan lebih baik. Kombinasi yang sangat baik antara intuisi dan notasi.

gwg

Ukuran tes dan tingkat signifikansi

Jawaban: