Kovarian dari variabel acak yang diubah

12

Saya memiliki dua variabel acak dan .X>0Y>0

Karena saya dapat memperkirakan bagaimana saya bisa memperkirakan

Cov(X,Y),
Cov(log(X),log(Y))?
pengguna7064
sumber
3
Pertanyaan terakhir ini menanyakan tentang korelasi alih-alih kovarians, tetapi ini terkait: stats.stackexchange.com/questions/35941/…
Douglas Zare

Jawaban:

16

Orang bisa mengambil pendekatan ekspansi Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Edit:

Ambil , .U=log(X)V=log(Y)

Gunakan ekspansi multivarian Taylor untuk menghitung perkiraan ke (dengan cara yang mirip dengan contoh di akhir "First Moment" di tautan yang melakukan kasus yang lebih sederhana dari , dan gunakan ekspansi univariat untuk menghitung perkiraan ke danE(UV)E(X.1/Y))E(U) (seperti yang diberikan di bagian pertama dari bagian yang sama) dengan akurasi yang sama. Dari hal-hal itu, hitung kovarians (diperkirakan).E(V)

Memperluas ke tingkat perkiraan yang sama seperti contoh dalam tautan, saya pikir Anda berakhir dengan istilah dalam mean dan varians dari masing-masing variabel (tidak ditransformasi), dan kovariansnya.

Edit 2:

Tapi di sini ada sedikit trik yang dapat menghemat usaha:

Perhatikan bahwa dan X = exp ( U ) dan Y = exp ( V ) .E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)X=exp(U)Y=exp(V)

E[f(X)]f(μX)+f(μX)2σX2
E(exp(U))exp(μU)+exp(μU)2σU2exp(μU+12σU2)

Sunting: Langkah terakhir itu mengikuti dari pendekatan Taylor , yang bagus untuk kecil (mengambil ).exp(b)1+bbb=12σU2

(perkiraan itu tepat untuk , normal: )UVE(exp(U))=exp(μU+12σU2)

MisalkanW=U+V

E(XY)=E(exp(U).exp(V))=E(exp(W))

exp(μW)+exp(μW)2σW2exp(μW+12σW2)

dan diberikan , laluVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)

(Edit :)

1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)
exp(μW+12σW2)exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp(μU+μV+12(σU2+σV2+2Cov(U,V)))exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp[Cov(U,V)]

Karenanya . Ini harus tepat untuk bivariat gaussian.Cov(U,V)log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y))U,V

Jika Anda menggunakan pendekatan pertama daripada yang kedua, Anda akan mendapatkan perkiraan yang berbeda di sini.

Glen_b -Reinstate Monica
sumber
Bisakah Anda memberikan sedikit detail lebih lanjut? Bagaimanapun,
terima kasih
Diedit untuk detail.
Glen_b -Reinstate Monica
Terima kasih @Glend_b. Saya akan menerima kapan detail akan ditambahkan. Sementara itu, +1 :-)
user7064
Jangan khawatir; Saya sedang sibuk saat itu, kemudian benar-benar lupa. Sekarang sudah diperbaiki
Glen_b -Reinstate Monica
Ini umumnya bekerja lebih baik untuk variabel non-Gaussian jika varian dan kecil (ekuivalen, jika koefisien variasi dan kecil). UVXY
Glen_b -Reinstate Monica
8

Tanpa asumsi tambahan pada dan , tidak mungkin untuk menyimpulkan kovarians dari log mengetahui kovarians awal. Di sisi lain, jika Anda dapat menghitung dari dan , apa yang mencegah Anda menghitung dari dan secara langsung?XYCov(X,Y)XYCov(log(X),log(Y))log(X)log(Y)

ThePawn
sumber