Saya memiliki dua variabel acak dan .
Karena saya dapat memperkirakan bagaimana saya bisa memperkirakan
data-transformation
covariance
random-variable
pengguna7064
sumber
sumber
Jawaban:
Orang bisa mengambil pendekatan ekspansi Taylor:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables
Edit:
Ambil , .U=log(X) V=log(Y)
Gunakan ekspansi multivarian Taylor untuk menghitung perkiraan ke (dengan cara yang mirip dengan contoh di akhir "First Moment" di tautan yang melakukan kasus yang lebih sederhana dari , dan gunakan ekspansi univariat untuk menghitung perkiraan ke danE(UV) E(X.1/Y)) E(U) (seperti yang diberikan di bagian pertama dari bagian yang sama) dengan akurasi yang sama. Dari hal-hal itu, hitung kovarians (diperkirakan).E(V)
Memperluas ke tingkat perkiraan yang sama seperti contoh dalam tautan, saya pikir Anda berakhir dengan istilah dalam mean dan varians dari masing-masing variabel (tidak ditransformasi), dan kovariansnya.
Edit 2:
Tapi di sini ada sedikit trik yang dapat menghemat usaha:
Perhatikan bahwa dan X = exp ( U ) dan Y = exp ( V ) .E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y) X=exp(U) Y=exp(V)
Sunting: Langkah terakhir itu mengikuti dari pendekatan Taylor , yang bagus untuk kecil (mengambil ).exp(b)≈1+b b b=12σ2U
(perkiraan itu tepat untuk , normal: )U V E(exp(U))=exp(μU+12σ2U)
MisalkanW=U+V
dan diberikan , laluVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)
(Edit :)
Karenanya . Ini harus tepat untuk bivariat gaussian.Cov(U,V)≈log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)) U,V
Jika Anda menggunakan pendekatan pertama daripada yang kedua, Anda akan mendapatkan perkiraan yang berbeda di sini.
sumber
Tanpa asumsi tambahan pada dan , tidak mungkin untuk menyimpulkan kovarians dari log mengetahui kovarians awal. Di sisi lain, jika Anda dapat menghitung dari dan , apa yang mencegah Anda menghitung dari dan secara langsung?X Y Cov(X,Y) X Y Cov(log(X),log(Y)) log(X) log(Y)
sumber