Distribusi selain dari normal di mana mean dan varians independen

Saya bertanya-tanya apakah ada distribusi selain normal di mana mean dan varians independen satu sama lain (atau dengan kata lain, di mana varians bukanlah fungsi dari mean).

distributions Wolfgang
sumber

Saya tidak yakin apakah saya memahami pertanyaan dengan benar. Apakah Anda bertanya apakah ada distribusi selain dari normal yang benar-benar ditentukan oleh mean dan varians? Dalam beberapa hal, varians adalah fungsi dari mean karena merupakan ukuran dispersi di sekitar mean, tetapi saya kira ini bukan yang Anda pikirkan.

maksudmu mean sampel

dan varians sampel

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

independen. Pertanyaan bagus ! mungkin memproyeksikan variabel acak gaussian akan tetap independen?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

robin girard

Srikant benar. Jika pertanyaannya adalah tentang "sampel mean dan varians" maka jawabannya adalah "tidak". Jika pertanyaannya adalah tentang mean dan varian populasi, maka jawabannya adalah ya; David memberikan contoh yang baik di bawah ini.

Hanya untuk memperjelas, maksud saya adalah ini. Untuk distribusi normal, mean

dan varians

sepenuhnya mencirikan distribusi dan

bukan fungsi dari

. Untuk banyak distribusi lainnya, ini tidak begitu. Sebagai contoh, untuk distribusi binomial, kita memiliki mean

dan varians

, jadi varians adalah fungsi dari mean. Contoh lain adalah distribusi gamma dengan parameter

(skala) dan

(bentuk), dengan rerata

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ dan variansnya adalah

, jadi varians sebenarnya

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

Wolfgang

Harap pertimbangkan untuk mengubah pertanyaan Anda, karena respons yang Anda periksa sebagai jawaban pilihan Anda tidak menjawab pertanyaan sebagaimana adanya (dan yang lainnya menjawab). Saat ini Anda menggunakan kata "independen" dengan cara yang istimewa. Contoh Anda dengan Gamma menunjukkan ini: seseorang dapat dengan mudah membuat ulang Gamma dalam hal mean (mu) dan varians (sigma), karena kita dapat memulihkan theta = sigma / mu dan kappa = mu ^ 2 / sigma. Dengan kata lain, "independensi" fungsional dari parameter biasanya tidak ada artinya (kecuali untuk keluarga parameter tunggal).

whuber

Jawaban:

Catatan: Silakan baca jawaban oleh @G. Jay Kerns, dan lihat Carlin dan Lewis 1996 atau referensi probabilitas favorit Anda untuk latar belakang pada perhitungan mean dan varians sebagai nilai yang diharapkan dan momen kedua dari variabel acak.

Pemindaian cepat pada Lampiran A dalam Carlin dan Lewis (1996) memberikan distribusi berikut yang serupa dalam hal ini dengan normal, di mana parameter distribusi yang sama tidak digunakan dalam perhitungan mean dan varians. Seperti yang ditunjukkan oleh @robin, saat menghitung estimasi parameter dari sampel, mean sampel diperlukan untuk menghitung sigma.

Multivarian Normal

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V Sebuah r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t dan multivarianate t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V Sebuah r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Eksponensial ganda:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: Dengan beberapa kualifikasi dapat dikatakan bahwa mean dan varians dari Cauchy tidak tergantung.

$E(X)$ $Var(X)$

Referensi

Carlin, Bradley P., dan Thomas A. Louis. 1996. Bayes dan empiris bayes Metode untuk Analisis Data, edisi ke-2. Chapman dan Hall / CRC, New York

David LeBauer
sumber

Dalam keluarga skala lokasi mana pun , mean dan varians akan berfungsi secara independen dalam mode ini!

whuber

David, eksponensial ganda adalah contoh yang bagus. Terima kasih! Saya tidak memikirkan yang itu. Distribusi t juga merupakan contoh yang baik, tetapi bukankah E (X) = 0 dan Var (X) = v / (v-2)? Atau apakah Carlin et al. (1996) mendefinisikan versi umum dari distribusi-t yang digeser dalam mean dan diskalakan dengan sigma ^ 2?

Wolfgang

Anda benar, distribusi-t tampaknya sering ditandai dengan mean = 0 dan varians = 1, tetapi pdf umum untuk t yang disediakan oleh Carlin dan Louis secara eksplisit mencakup sigma dan mu; parameter nu menyumbang perbedaan antara normal dan t.

David LeBauer

Bahkan, jawabannya adalah "tidak". Independensi mean sampel dan varians mencirikan distribusi normal. Ini ditunjukkan oleh Eugene Lukacs dalam "Karakterisasi Distribusi Normal", The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 13, No. 1 (Maret, 1942), hlm. 91-93.

Saya tidak tahu ini, tetapi Feller, "Pengantar Teori Probabilitas dan Penerapannya, Volume II" (1966, pg 86) mengatakan bahwa RC Geary membuktikan ini juga.

sumber

@onestop kurasa itu adalah artefak malang dari usiaku. Bukan suatu pernyataan yang meremehkan untuk mengatakan bahwa buku-buku Feller merevolusi cara probabilitas dilakukan - di seluruh dunia. Sebagian besar dari notasi modern kita adalah karena dia. Selama beberapa dekade, buku-bukunya adalah yang buku probabilitas untuk belajar. Mungkin mereka masih harus begitu. BTW: Saya telah menambahkan judul untuk mereka yang belum pernah mendengar buku-bukunya.

Saya telah mengajukan pertanyaan tentang karakterisasi lucu lainnya ... stats.stackexchange.com/questions/4364/…

robin

Jay, terima kasih atas referensi pada makalah yang ditulis oleh Lukacs, yang dengan baik menunjukkan bahwa distribusi sampling dari mean dan varians sampel hanya independen untuk distribusi normal. Adapun momen sentral kedua, ada beberapa distribusi di mana itu bukan fungsi dari momen pertama (David memberikan beberapa contoh yang bagus).

Wolfgang

Geary, RC (1936), "Distribusi Rasio 'Mahasiswa' untuk Sampel Non-Normal," Jurnal Masyarakat Statistik Kerajaan, Suppl. 3, 178–184.

vqv