Fungsi logistik dengan kemiringan tetapi tanpa asimtot?

Fungsi logistik memiliki rentang keluaran 0 hingga 1, dan kemiringan asimtotik nol di kedua sisi.

Apa alternatif untuk fungsi logistik yang tidak rata sepenuhnya pada akhirnya? Lereng asimptotik siapa yang mendekati nol tetapi tidak nol, dan kisarannya tidak terbatas?

sigmoid-curve Aksakal
sumber

Judulnya tampaknya tidak setuju dengan cara saya membaca pertanyaan Anda - apakah fungsi baru ini diperlukan untuk memiliki asimtot atau tidak?

jld

Pada dasarnya saya ingin fungsi yang terlihat seperti sigmoid tetapi memiliki kemiringan

Aksakal

Benar, bentuk seperti sigmoid yang tidak sepenuhnya rata, mis. Fungsi log tidak sepenuhnya rata

Aksakal

sign (x) \log (1 + | x |)

$\operatorname{sign}(x)\log(1 + |x|)$ ?

steveo'america

Awal dekade yang disebut, ia ingin fungsi aktivasi jaringan saraf kembali. (Maaf lelucon buruk, tapi secara realistis inilah sebabnya orang pindah ke ReLUs) (+1, pertanyaan yang relevan)

usεr11852

Jawaban:

Anda bisa menambahkan istilah ke fungsi logistik :

f (x; a, b, c, d, e) = \frac{a}{1 + b \exp (- c x)} + d x + e

$f(x; a, b, c, d, e)=\frac{a}{1+b\exp(-cx)} + dx + e$

Asimptot akan memiliki kemiringan . $d$

Ini adalah contoh dengan : $a=10, b = 1, c = 2, d = \frac{1}{20}, e = -5$

COOLSerdash
sumber

Saya pikir jawaban ini adalah yang terbaik karena jika Anda memperkecil cukup jauh itu hanya garis lurus dengan sedikit goyangan di tengah. Memberikan perilaku paling intuitif pada x besar tetapi mempertahankan bentuk sigmoid.

user1717828

ini sepertinya berfungsi untuk dataset saya, dan saya mengambilnya, tetapi solusinya tidak ideal karena kemiringan asimptotik tidak berkurang

Aksakal

Awalnya saya berpikir Anda memang menginginkan asymptotes horizontal $0$ masih; Saya memindahkan jawaban asli saya ke akhir. Jika Anda ingin $\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = \pm\infty$ lalu apakah sesuatu seperti sinus hiperbolik terbalik bekerja?

asinh (x) = \log (x + \sqrt{1 + x^{2}})

$\text{asinh}(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

Ini tidak terikat tetapi tumbuh seperti untuk besardan sepertinya $\log$ $|x|$

Saya suka fungsi ini banyak sebagai transformasi data ketika saya punya ekor yang berat tetapi mungkin nol atau nilai negatif.

Satu hal yang menyenangkan tentang fungsi ini adalah sehingga ia memiliki turunan sederhana yang bagus. $\text{asinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Jawaban asli

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$ Biarkan menjadi fungsi kita dan kita akan menganggap $f : \mathbb R\to\mathbb R$

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0.

$\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = 0.$

Misalkan adalah kontinu. Perbaiki . Dari asimtot yang kami miliki dan secara analog ada sehingga . Karenanya di luar ada di dalam . Dan adalah interval yang kompak sehingga dengan kontinuitas terikat padanya. $f$ $\e > 0$

\exists x_{1} : x < x_{1} ⟹ | f (x) | < ε

$\exists x_1 : x < x_1 \implies |f(x)| < \e$

x_{2}

$x_2$

x > x_{2} ⟹ | f (x) | < ε

$x > x_2 \implies |f(x)| < \e$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

(- ε, ε)

$(-\e, \e)$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

Ini berarti bahwa fungsi seperti itu tidak dapat berkelanjutan. Apakah sesuatu seperti berfungsi?

f (x) = {\begin{cases} x^{- 1} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} x^{-1} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$

jld
sumber

Utas "Terkait" termasuk pertanyaan yang belum terjawab ini, kalau-kalau ada orang yang bertanya pada diri sendiri tentang tindak lanjut alami "apa yang terjadi jika Anda menggunakan asinh dalam jaringan saraf?" stats.stackexchange.com/questions/359245/...

Sycorax mengatakan

Telingaku memang menusuk. Saya telah di masa lalu menemukan asinh () berguna ketika Anda ingin 'melakukan hal-hal log' ke angka positif dan negatif. Hal ini juga mendapat sekitar quandry Anda bisa mendapatkan di mana Anda perlu melakukan log transformasi pada data dengan nol dan harus menilai nilai yang sesuai dari untuk

a

$a$

l o g (x + a)

$log(x + a)$

Ingolifs

bagaimana Anda bisa membuat parameter fungsi ini untuk mengubah bentuknya? khususnya, untuk mengatur kemiringan pada titik belok

Aksakal

@Aksakal jika

a > 0

$a > 0$ lalu lakukan saja

a \cdot asinh

$a\cdot\text{asinh}$ akan menjaga bentuk dan asimptotiknya sama dan turunannya adalah

\frac{a}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{1+x^2}}$ jadi kemiringan di nol adalah adil

a

$a$

Juli 1919

@ Aksakal lebih umum kita bisa mempertimbangkan antiderivatif

\frac{a}{\sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{c^2 + (bx)^2}}$ yang mana

\frac{Sebuah}{b} catatan (b (b x + \sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}))

$\frac ab \log\left(b\left(bx + \sqrt{c^2 + (bx)^2}\right)\right)$ dan memungkinkan lebih banyak kemampuan untuk mengubah bentuk, atau hanya sesuatu seperti

a \cdot asinh (b x)

$a\cdot\text{asinh}(bx)$

jld

Saya akan melanjutkan dan mengubah komentar menjadi jawaban. saya menyarankan

f (x) = tanda (x) catatan (1 + | x |),

$f(x) = \operatorname{sign}(x)\log{\left(1 + |x|\right)},$ yang memiliki kemiringan cenderung ke nol, tetapi tidak terikat.

sunting oleh permintaan populer, sebidang, untuk $|x|\le 30$ :

steveo'america
sumber