Distribusi mana pada [0,1] selain dari distribusi beta yang membentuk senyawa-senyawa yang bagus dengan distribusi binomial?

Untuk distribusi x mana, selain beta, apakah distribusi x-binomial bagus? Distribusi beta dan binomial adalah konjugat terkenal tetapi saya ingin tahu apakah distribusi non-konjugat lainnya akan memberikan senyawa pmfs yang relatif sederhana. Maksud saya, PMF itu bagus untuk dihitung tanpa menggunakan integrasi numerik; Saya tidak mengacu pada kemudahan pengambilan sampel dari distribusi senyawa.

beta-binomial gam
sumber

Pertanyaan yang bagus Saya akan menyarankan Jeffreys sebelumnya, tetapi ternyata itu hanya kasus khusus dari distribusi beta untuk model binomial . Saya akan terus berpikir dan melihat apakah saya dapat menemukan yang lain. Saya memiliki perasaan yang samar-samar bahwa ada transformasi Gaussians yang berfungsi, tetapi Google tidak membantu saya menjelaskannya.

David J. Harris

Jawaban:

Jika Anda hanya ingin dapat menuliskan probabilitas fungsi massa, Anda memiliki banyak fleksibilitas, pada dasarnya karena Anda dapat berulang kali menggunakan integrasi dengan bagian-bagian. Selama Anda dapat mengintegrasikan distribusi berulang kali untuk mendapatkan ekspresi bentuk tertutup, Anda paling tidak mendapatkan jumlah ganda ekspresi bentuk tertutup untuk pmf dari distribusi gabungan. Saya pikir Anda sering mendapatkan jumlah tunggal, jadi mungkin ada cara yang lebih sederhana untuk mengekspresikan ini. $X$

Misalnya, biarkan pada . $\text{pdf}_X(x) = -\log x$ $[0,1]$

\int_{0}^{1} (\binom{N}{k}) x^{k} (1 - x)^{N - k} (- \log x) d x = \frac{1}{N + 1} \sum_{i = k}^{N} \frac{1}{i + 1} .

$\int_0^1 {N\choose k}x^k (1-x)^{N-k} (-\log x) ~dx \\\ = \frac{1}{N+1}\sum_{i=k}^{N} \frac1{i+1}.$

Douglas Zare
sumber