Mari , yaitu didistribusikan menurut D × D distribusi Wishart dimensi dengan mean ν Ψ dan derajat kebebasan ν . Saya ingin ungkapan untuk E ( log | Λ | ) di mana | Λ | adalah penentu.Λ ∼ WD( ν, Ψ )D × DνΨνE( log| Λ | )| Λ |
Saya telah sedikit Google 'untuk jawaban untuk ini dan mendapatkan beberapa informasi yang saling bertentangan. Makalah ini secara eksplisit menyatakan bahwa
manaψ(⋅)menunjukkan fungsi digammad
E( log| Λ | )=D log2 + log| Ψ | + ∑i = 1Dψ ( ν- i + 12)
ψ ( ⋅ ); makalah tidak memberikan sumber untuk fakta ini sejauh yang saya tahu. Ini juga merupakan formula yang digunakan pada
halaman wikipedia untuk Wishart, yang memuat teks Pengenalan Pola Uskup.
ddxcatatanΓ ( x )
Di sisi lain, google membuka diskusi ini dengan makalah tertaut yang menyatakan bahwa
Mereka menyimpulkan dengan menyatakan bahwa
E ( log | Λ | ) = D log 2 - D log ν + log | Ψ | + D ∑ i = 1 ψ ( ν - i + 1
νD| Λ || Ψ |∼ χ2νχ2ν- 1⋯ χ2ν- D + 1.( † )
yang diturunkan menggunakan fakta bahwa
E(logχ 2 ν )=log(2)+ψ(ν/2). Saya memeriksa perhitungan ini mulai dari
(†)dan sepertinya oke, tapi kami punya ekstra
-Dlogν.
E( log| Λ | )=Dlog2 - D logν+ log| Ψ | + ∑i=1Dψ(ν−i+12)
E( logχ2ν) = log( 2 ) + ψ ( ν/ 2)( † )- D logν