Interval prediksi untuk hasil regresi logistik dengan respons binomial

Misalkan kita memiliki model regresi logistik:

Diberikan sampel acak $D=\{\mathbf{X},\mathbf{y}\}$ dengan ukuran $N$ , kita dapat menghitung interval kepercayaan untuk $\boldsymbol{\beta}$ dan interval prediksi yang sesuai untuk $p$ , dengan nilai tertentu $\mathbf{x}^*$ dari vektor prediktor. Ini semua sangat standar dan terperinci, misalnya, di sini .

Andaikan saya tertarik pada interval prediksi untuk $y$ , diberikan $\mathbf{x}^*$ . Tentu saja, sama sekali tidak masuk akal untuk menghitung interval prediksi untuk realisasi tunggal $y$ , karena $y$ hanya dapat mengambil nilai 0 dan 1, dan tidak ada nilai di antaranya. Namun , jika kita mempertimbangkan $m$ realisasi $y$ untuk nilai tetap sama dari $\mathbf{x}^*$ , maka ini menjadi mirip (tapi tidak identik) dengan pertanyaan tentang komputasi interval prediksi untuk variabel acak binomial . Ini pada dasarnya situasi yang sama dijelaskan oleh Glen_b dalam komentar untuk jawaban ini. Apakah pertanyaan ini memiliki jawaban, selain dari yang sepele "gunakan bootparap nonparametrik"?

Salah satu cara ini harus bekerja tanpa bootstrap (yang dalam praktiknya mungkin merupakan hal tercepat yang diterapkan), adalah:

1. Asumsikan bahwa perkiraan normal untuk prediksi log-odds ( ) plus / minus kesalahan standarnya berfungsi. Perangkat lunak regresi logistik apa pun akan menyediakan ini.$x \hat{\beta}$
2. Persentil dari distribusi ini berubah menjadi probabilitas melalui anti-logit.
3. Seseorang dapat menemukan (campuran) distribusi beta yang mendekati distribusi prediksi untuk probabilitas dengan baik.
4. Distribusi prediktif untuk hasilnya kemudian adalah (campuran) distribusi beta-binomial (s dengan bobot pencampuran yang sama seperti yang digunakan pada langkah 3).

Atau, seseorang dapat "hanya" mengintegrasikan log-odds dari prediksi gabungan hasil dan log-odds, tapi saya percaya itu akan menjadi kekacauan total tanpa solusi bentuk tertutup.