Mengapa kita tidak menggunakan rata-rata aritmatika tertimbang alih-alih rata-rata harmonik?

12

Saya bertanya-tanya apa nilai intrinsik dari penggunaan rata-rata harmonik (misalnya untuk menghitung ukuran-F), yang bertentangan dengan rata-rata aritmatika tertimbang dalam menggabungkan presisi dan daya ingat? Saya berpikir bahwa rata-rata aritmatika tertimbang dapat memainkan peran rata-rata harmonik, atau apakah saya melewatkan sesuatu?

olga
sumber
9
Mean harmonik adalah rata -rata aritmatika tertimbang: setiap memiliki bobot sebanding dengan . 1 / x 2 ixsaya1/xsaya2
Whuber
Bisakah Anda mengatakan lebih banyak tentang bagaimana presisi dan daya ingat digabungkan dalam mode ini?
AdamO
6
@whuber Tidak yakin apakah komentar Anda serius atau tidak jelas. Bobot biasanya diasumsikan fungsi dari sampel indeks , bukan dari sampel nilai . Kalau tidak berarti apa pun adalah rata
Luis Mendo
2
@Luis Kebenaran terletak di antara keduanya. Indeks sampel sering tidak berarti. Bobot adalah fungsi dari objek, tetapi fungsi tersebut biasanya tidak bergantung pada nilai yang dirata-rata. Contohnya adalah bobot yang terkait dengan waktu (EWMA), dengan lokasi (seperti dalam ukuran korelasi spasial), peringkat (seperti dalam uji Shapiro-Wilk), dan probabilitas pengambilan sampel. Tapi tidak semua alat tertimbang AM: GM tidak, misalnya. Karena Filippa bertanya tentang "nilai instrinsik," tampaknya cocok untuk menunjukkan hubungan matematika antara rata-rata harmonik dan rata-rata tertimbang.
whuber

Jawaban:

18

Secara umum, cara harmonik lebih disukai ketika seseorang mencoba untuk menilai rata-rata, daripada bilangan bulat. Dalam kasus ukuran-F1, rata-rata harmonis akan menghukum precision atau penarikan yang sangat kecil sedangkan rata-rata aritmatika tertimbang tidak akan. Bayangkan rata-rata 100% dan 0%: Rata-rata aritmatika adalah 50% dan rata-rata Harmonik adalah 0%. Rata-rata harmonik menuntut ketepatan dan daya ingat yang tinggi.

Selain itu, ketika presisi dan daya ingat berdekatan, mean harmonik akan mendekati rata-rata aritmatika. Contoh: rata-rata harmonik 95% dan 90% adalah 92,4% dibandingkan dengan rata-rata aritmatika 92,5%.

Apakah ini properti yang diinginkan mungkin tergantung pada kasus penggunaan Anda, tetapi biasanya dianggap baik.

Akhirnya, perhatikan bahwa, seperti yang dikatakan @whuber dalam komentar, rata-rata harmonik memang berarti rata-rata aritmatika.

ilanman
sumber
2
"Sarana harmonik lebih disukai ketika seseorang mencoba tingkat rata-rata" Mungkin jika Anda melakukan perjalanan km pada 120 km / jam dan 10 km kembali pada 60 km / jam untuk mendapatkan kecepatan keseluruhan rata-rata 80 km / jam, meskipun tidak jika Anda perjalanan 10 menit pada 120 km / jam dan 10 menit pada 60 km / jam untuk mendapatkan kecepatan keseluruhan rata-rata 90 km / jam. Tapi saya tidak mengerti mengapa itu berlaku untuk pecahan1012010608010120106090
Henry
Memang, paragraf pertama lebih merupakan pernyataan umum tentang rata-rata harmonik. Tapi Anda benar, presisi dan daya ingat adalah pecahan dan bukan tingkat. Saya percaya ada anggapan bahwa rata-rata aritmatika lebih disukai untuk nilai-nilai yang memiliki penjumlahan yang dapat ditafsirkan (yang tidak akan berlaku dalam kasus ini), tetapi tentu saja seseorang dapat mengambil rata-rata aritmatika presisi dan mengingat dan mengeluarkan hasil yang bermanfaat.
ilanman
Luar biasa! Saya lebih mencari "pembenaran" untuk menggunakan aturan rata-rata harmonik. Tetapi saya tidak yakin bagaimana harus berpikir tentang pembenaran ..
olga
10

Mean harmonik dapat menjadi pengganti yang berguna untuk rata-rata aritmatika ketika yang terakhir tidak memiliki harapan atau tidak ada perbedaan. Mungkin memang benar bahwa tidak ada atau tidak terbatas, sementara E [ 1 / X ] ada. Misalnya, distribusi Pareto dengan kerapatan f ( x ) = α x α 0E[X]E[1/X]tidak memiliki harapan terbatas ketikaα1, yang menyiratkan bahwa rata-rata aritmatika memiliki ekspektasi tak terbatas, sedangkanE[1/X]= x 0 αx α 0

f(x)=αx0αxα+1sayaxx0
α1 yang menyiratkan bahwa rata-rata harmonik memiliki harapan yang terbatas.
E[1/X]=x0αx0αxα+2dx=αx0α(α+1)x0α+1=α(α+1)x0

Sebaliknya, ada distribusi yang rata-rata harmoniknya tidak ada harapan, seperti misalnya distribusi Beta ketika α 1 . Dan masih banyak lagi yang tidak memiliki varian.Be(α,β)α1

Ada juga hubungan dengan perkiraan Monte Carlo terhadap integral, dan khususnya konstanta normalisasi, berdasarkan pada identitas posterior Bayesian

E[φ(θ)π(θ)L.(θ|x)|x]=1m(x)
φ()π()L.(|x)m()
Xi'an
sumber
2
Mengapa properti ini lebih disukai ketika rata-rata tarif?
Walrus the Cat
Saya tidak tahu hasil optimalitas, tetapi memiliki penduga dengan harapan yang terbatas tampaknya lebih baik daripada yang tidak!
Xi'an