Bagaimana cara menunjukkan bahwa matriks ini adalah semidefinit positif?

Membiarkan

$$K=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12}\\ K_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$$

menjadi positif semidefinite nyata matriks simetris (PSD) dengan . Lalu, untuk ,$K_{12}=K_{21}^T$$|r| \le 1$

$$K^*=\begin{pmatrix} K_{11} & rK_{12}\\ rK_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$$

juga merupakan matriks PSD. Matriks dan adalah dan menunjukkan matriks transpos. Bagaimana saya membuktikan ini?$K$$K^*$$2 \times 2$$K_{21}^T$

Ini adalah kesempatan yang bagus untuk menerapkan definisi: tidak ada teorema lanjut yang diperlukan.

Untuk menyederhanakan notasi, untuk angka apa pun biarkan menjadi matriks blok simetris . (Jika bekerja dengan matriks blok tidak terbiasa dengan Anda, anggap saja pada awalnya itu$\rho$

$$\mathbb{A}(\rho)=\pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}$$ $A$, $B$, $D$, $x$, dan $y$adalah angka. Anda akan mendapatkan ide umum dari kasus ini.)

Untuk $\mathbb{A}(\rho)$ menjadi semidefinit positif (PSD) hanya berarti untuk semua vektor $x$ dan $y$ dimensi yang sesuai

$$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \mathbb{A}(\rho) \pmatrix{x\\y} \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}\pmatrix{x\\y} \\ &=x^\prime A x + 2\rho y^\prime B^\prime x + y^\prime D y.\tag{1} }$$

Ini yang harus kita buktikan kapan $|\rho|\le 1$.

Kami diberitahu itu $\mathbb{A}(1)$adalah PSD. Saya mengklaim itu$\mathbb{A}(-1)$juga PSD. Ini diikuti dengan meniadakan$y$ dalam ekspresi $(1)$: sebagai $\pmatrix{x\\y}$ berkisar melalui semua vektor yang mungkin, $\pmatrix{x\\-y}$ juga berkisar melalui semua vektor yang mungkin, menghasilkan

$$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&-y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\-y} \\ &= x^\prime A x + 2(-y)^\prime B^\prime x + (-y)^\prime D (-y) \\ &= x^\prime A x + 2(-1)y^\prime B^\prime x + y^\prime D y \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}, }$$

menunjukkan itu $(1)$ memegang dengan $\rho=-1.$

Perhatikan itu $\mathbb{A}(\rho)$ dapat diekspresikan sebagai interpolasi linier ekstrem $\mathbb{A}(-1)$ dan $\mathbb{A}(1)$:

$$\mathbb{A}(\rho) = \frac{1-\rho}{2}\mathbb{A}(-1) + \frac{1+\rho}{2}\mathbb{A}(1).\tag{2}$$

Kapan $|\rho|\le 1$, keduanya koefisien $\color{blue}{(1-\rho)/2}$ dan $\color{blue}{(1+\rho)/2}$tidak negatif. Karena itu, sejak keduanya${\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y}}$ dan $\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}$ tidak negatif, begitu juga sisi kanan

$$\eqalign{ &\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(\rho)\pmatrix{x\\y} \\ &= \color{blue}{\left(\frac{1-\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y} + \color{blue}{\left(\frac{1+\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y} \\ &\ge \color{blue}{0}(0) + \color{blue}{0}(0) = 0. }$$

(Saya menggunakan warna untuk membantu Anda melihat empat istilah non-negatif terpisah yang terlibat.)

Karena $x$ dan $y$ sewenang-wenang, kami telah membuktikan $(1)$ untuk semua $\rho$ dengan $|\rho|\le 1$.

Sudah ada jawaban yang bagus oleh @whuber, jadi saya akan mencoba memberikan alternatif, bukti lebih pendek, menggunakan beberapa teorema.

1. Untuk apapun $A$ - PSD dan apa saja $Q$ kita punya $Q^TAQ$ - PSD
2. Untuk $A$ - PSD dan $B$ - PSD juga $A + B$ - PSD
3. Untuk $A$ - PSD dan $q > 0$ juga $qA$ - PSD

Dan sekarang:

$$\begin{align*} K^* &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & r^2K_{2,2} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & qK_{2,2} \\ \end{pmatrix}, \text{ where $q = 1 - r^2 > 0$} \\ &= \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} K_{1,1} & K_{1,2} \\ K_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

Matriks $K$ adalah PSD menurut definisi dan begitu juga submatrix-nya $K_{2, 2}$