Mengapa ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Kami sedang berurusan dengan distribusi lognormal dalam kursus keuangan dan buku teks saya hanya menyatakan bahwa ini benar, yang menurut saya agak frustasi karena latar belakang matematika saya tidak terlalu kuat tetapi saya ingin intuisi. Adakah yang bisa menunjukkan mengapa ini terjadi?

Ingat bahwa$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Jadi$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Sekarang membiarkan , kita memiliki:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

sekarang ambil log dari kedua sisi

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Kalau tidak:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (di mana )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ (karena )$\ln(t+1)\leq t$

Sekarang ambillah harapan kedua belah pihak:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Sebuah ilustrasi (menunjukkan hubungan dengan ketidaksetaraan Jensen):

( Di sini peran X dan Y dipertukarkan sehingga mereka cocok dengan sumbu plot; perencanaan yang lebih baik akan bertukar peran mereka di atas sehingga plot lebih cocok dengan aljabar. )

Garis-garis berwarna solid mewakili sarana pada setiap sumbu.

Seperti yang kita lihat karena hubungan "membungkuk ke arah" di tengah (dan "menjauh dari" ), rata-rata (garis horizontal oranye) berjalan sedikit lebih jauh sebelum mengenai kurva (memberikan celah kecil (ditandai dengan warna biru) ) antara log (rata-rata (y)) dan rata-rata (log (y)) yang kita lihat).$X$$Y$$Y$