Apa definisi distribusi simetris? Seseorang mengatakan kepada saya bahwa variabel acak berasal dari distribusi simetris jika dan hanya jika dan memiliki distribusi yang sama. Tetapi saya pikir definisi ini sebagian benar. Karena saya dapat menyajikan contoh tandingan dan . Jelas, ia memiliki distribusi simetris, tetapi dan memiliki distribusi yang berbeda! Apakah saya benar? Apakah kalian pernah memikirkan pertanyaan ini? Apa definisi yang tepat dari distribusi simetris?X - X X ∼ N ( μ , σ 2 ) μ ≠ 0 X - X
distributions
definition
symmetry
shijing SI
sumber
sumber
Jawaban:
Secara singkat: simetris ketika dan memiliki distribusi yang sama untuk beberapa bilangan real . X 2 a - X aX X 2 a - X Sebuah Tapi tiba di ini dengan cara yang sepenuhnya dibenarkan memerlukan beberapa penyimpangan dan generalisasi, karena menimbulkan banyak pertanyaan implisit: mengapa ini definisi "simetris"? Mungkinkah ada jenis simetri lain? Apa hubungan antara distribusi dan simetrinya, dan sebaliknya, apa hubungan antara "simetri" dan distribusi yang mungkin memiliki simetri itu?
Simetri yang dimaksud adalah refleksi dari garis nyata. Semuanya berbentuk
untuk beberapa konstanta .Sebuah
Jadi, anggaplah memiliki simetri ini untuk setidaknya satu . Maka simetri menyiratkanaX Sebuah
menunjukkan bahwa adalah median dari . Demikian pula, jika memiliki harapan, maka segera mengikuti bahwa . Jadi kita biasanya dapat mudah dijabarkan . Bahkan jika tidak, (dan karena itu simetri itu sendiri) masih ditentukan secara unik (jika ada sama sekali).X Xa X X a aa=E[X] a a
Untuk melihat ini, mari menjadi sembarang pusat simetri. Kemudian menerapkan kedua simetri kita melihat bahwa adalah invarian di bawah terjemahan . Jika , distribusi harus memiliki periode , yang tidak mungkin karena probabilitas total distribusi periodik adalah atau tidak terbatas. Jadi , menunjukkan bahwa adalah unik.X x → x + 2 ( b - a ) bb X x→x+2(b−a) X b -b−a≠0 X 0 b - a = 0 ab−a 0 b−a=0 a
Lebih umum, ketika adalah grup yang bertindak dengan setia di garis nyata (dan dengan perluasan pada semua himpunan borelnya), kita dapat mengatakan bahwa distribusi "simetris" (berkenaan dengan ) ketikaX GG X G
untuk semua himpunan terukur dan elemen , di mana menunjukkan gambar bawah aksi .g ∈ G E g E gE g∈ G Eg E g
Sebagai contoh, misalkan masih menjadi kelompok pesanan , tetapi sekarang biarkan aksinya adalah mengambil kebalikan dari bilangan real (dan membiarkannya memperbaiki ). Distribusi lognormal standar simetris sehubungan dengan grup ini. Contoh ini dapat dipahami sebagai contoh dari simetri refleksi di mana ekspresi ulang nonlinear dari koordinat telah terjadi. Ini menunjukkan fokus pada transformasi yang menghormati "struktur" garis nyata. Struktur penting untuk probabilitas harus terkait dengan set Borel dan ukuran Lebesgue, yang keduanya dapat didefinisikan dalam hal jarak (Euclidean) antara dua titik.2 0G 2 0
Menurut definisi, peta yang mempertahankan jarak adalah isometri. Telah diketahui (dan mudah, meskipun sedikit terlibat, untuk menunjukkan) bahwa semua isometri dari garis nyata dihasilkan oleh refleksi. Dari mana, ketika dipahami bahwa "simetris" berarti simetris sehubungan dengan beberapa kelompok isometri , kelompok tersebut harus dihasilkan oleh paling banyak satu refleksi dan kita telah melihat bahwa refleksi secara unik ditentukan oleh distribusi simetris apa pun sehubungan dengan itu. Dalam hal ini, analisis sebelumnya adalah lengkap dan membenarkan terminologi distribusi "simetris" yang biasa.
Secara kebetulan, sejumlah contoh multivariat dari distribusi invarian di bawah kelompok isometri diberikan dengan mempertimbangkan distribusi "bola". Ini tidak tetap di bawah semua rotasi (relatif terhadap beberapa pusat tetap). Ini menggeneralisasi kasus satu dimensi: "rotasi" dari garis nyata hanyalah refleksi.
Akhirnya, perlu menunjukkan bahwa konstruksi standar - rata-rata di atas grup - memberikan cara untuk menghasilkan banyak distribusi simetris. Dalam kasus garis nyata, biarkan dihasilkan oleh refleksi tentang titik , sehingga terdiri dari elemen identitas dan refleksi ini, . Biarkan menjadi distribusi apa pun . Tentukan distribusi dengan mengatura e g X YG Sebuah e g X Y
untuk semua Borel set . Ini nyata simetris dan mudah untuk memeriksa bahwa itu tetap suatu distribusi (semua probabilitas tetap tidak negatif dan probabilitas total adalah ).1E 1
Mengilustrasikan proses rata-rata grup, PDF dari distribusi Gamma yang simetris (berpusat pada ) ditunjukkan dalam emas. Gamma asli berwarna biru dan pantulannya berwarna merah.a = 2
sumber
Jawabannya akan tergantung pada apa yang Anda maksud dengan simetri. Dalam fisika, gagasan simetri adalah fundamental dan telah menjadi sangat umum. Simetri adalah setiap operasi yang membuat sistem tidak berubah. Dalam kasus distribusi probabilitas, ini dapat diterjemahkan ke operasi apa pun yang mengembalikan probabilitas yang sama . P ( X ) = P ( X ′ )X→ X′ P(X) = P( X′)
Dalam contoh sederhana dari contoh pertama Anda mengacu pada simetri refleksi tentang maksimum. Jika distribusinya adalah sinusoidal maka Anda bisa memiliki kondisi , di mana adalah panjang gelombang atau periode. Kemudian dan masih akan cocok dengan definisi simetri yang lebih umum.λ P ( X ) = P ( X + λ )X→X+ λ λ P(X) = P(X+ λ )
sumber