Mengurai distribusi normal

Apakah ada distribusi hanya positif sehingga perbedaan dari dua sampel independen dari distribusi ini terdistribusi secara normal? Jika demikian, apakah itu memiliki bentuk yang sederhana?

distributions probability Martin O'Leary
sumber

Pertanyaan menarik! Distribusi normal adalah dekomposisi yang tak terhingga, artinya Anda selalu dapat menuliskannya sebagai distribusi jumlah dari angka acak variabel acak. Tapi ini bukan pertanyaannya.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

Xi'an

Jika Anda mendapatkan fungsi menghasilkan momen, pertanyaannya adalah apakah

memungkinkan solusi (dalam

) yang merupakan fungsi penghasil momen dari variabel positif ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

Xi'an

Anda benar, @Dilip: perbedaan setengah normal tidak memiliki distribusi normal. Masalahnya bukan dengan varian perbedaan: bentuk distribusi sangat tidak normal (kurtosisnya terlalu besar).

Whuber

Meskipun ini jelas, mungkin perlu dicatat bahwa pernyataan itu kira - kira benar. Setelah semua, perbedaan dari

variabel dan

variabel memiliki

distribusi dan, dengan memilih

cukup besar, kita bisa membuat kemungkinan kedua variabel negatif sekecil yang diinginkan.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

whuber

Jawaban:

Jawaban atas pertanyaannya adalah Tidak, dan itu berasal dari karakterisasi terkenal dari distribusi normal.

Misalkan dan adalah variabel acak independen. Maka begitu juga variabel acak independen dan , dan tentu saja kita dapat menulis sebagai , jumlah dari dua variabel acak independen. Sekarang, menurut teorema yang diduga oleh P. Lévy dan dibuktikan oleh H. Cramér (lihat Feller, Bab XV.8, Theorem 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Jika dan adalah variabel acak independen dan terdistribusi normal, maka keduanya dan terdistribusi normal. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

Dilip Sarwate
sumber

Saya agak berharap jawabannya adalah ya, tapi terima kasih! Saya tidak memiliki akses mudah ke salinan Feller - apakah mungkin untuk membuat sketsa bukti teorema? Tampaknya sangat berlawanan dengan intuisi.

Martin O'Leary

Bahkan Feller tidak memasukkan bukti asli yang mengklaim bahwa itu didasarkan pada teori fungsi analitik dan karenanya sangat berbeda dari pendekatannya pada fungsi karakteristik.

Dilip Sarwate

Saya pikir itu yang terjadi tetapi membuka pintu untuk variabel dependen. Saya mencoba menemukan cara untuk membangun ketergantungan antara 2 normal setengah positif tetapi tidak bisa membuatnya bekerja.

Michael R. Chernick

Yah, mungkin seseorang harus saya lebih tertarik untuk mencoba menyelesaikannya

Michael R. Chernick

Saya akan mengajukan pertanyaan ini dan kemudian Anda dapat menguraikan jawaban Anda. Saya tidak cukup mengikuti seperti apa kerapatan sambungan ini dan apakah Anda mengonsumsi Z = | X | - | Y |?

Michael R. Chernick