Perkiraan varians mana yang digunakan untuk tes Wald?

Saya telah melihat pembenaran berikut untuk tes Wald dari hipotesis nol $H_0: \theta = \theta_0$ untuk parameter skalar $\theta$. Kapan$\hat{\theta}_n$ adalah MLE untuk $\theta$ Diperkirakan dari sampel ukuran independen $n$, di bawah hipotesis nol, kita memiliki dalam distribusi sebagai , di mana adalah informasi yang diharapkan untuk pengamatan tunggal, dievaluasi pada . Jadi menurut saya kita harus menggunakan statistik uji$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$$n\rightarrow \infty$$i(\theta_0)$$\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

yang akan menjadi sekitar untuk besar . Namun, tampaknya lebih umum untuk menulis statistik Wald sebagai$N(0,1)$$n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

yaitu, untuk mengevaluasi informasi yang diharapkan di daripada di . Pertanyaan saya adalah, mengingat bahwa kita memerlukan distribusi statistik uji di bawah nol untuk melakukan tes hipotesis kami, bukankah lebih masuk akal untuk mencoba dan memperkirakan kesalahan standar di bawah nol, yaitu untuk memperkirakan oleh ?$\hat{\theta}$$\theta_0$$s.e.\left(\hat{\theta}\right)$$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

Kedua pendekatan tersebut sah, dengan keduanya mengarah pada distribusi nol asimptotik yang sama dari statistik.

$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$ menyiratkan itu $\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$ sehingga teorema pemetaan kontinu (CMT) menghasilkan itu $i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$, asalkan, seperti halnya dalam masalah reguler, itu $i$kontinu. Kemudian, lagi oleh CMT,

$$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$$ dan teorema Slutzky menghasilkan itu $$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$$ dibawah $H_0$ demikian juga.