Pertimbangkan 3 sampel awal yang diambil dari distribusi seragam u(θ,2θ) , di mana θ adalah parameter. Saya ingin mencari
E[X(2)|X(1),X(3)]
mana
X( i ) adalah statistik pesanan .
saya
Saya berharap hasilnya menjadi
Tetapi satu-satunya cara saya dapat menunjukkan hasil ini tampaknya terlalu panjangnya, saya tidak dapat menemukan solusi sederhana, apakah saya melewatkan sesuatu, apakah ada jalan pintas?
E [ X( 2 )| X( 1 ), X( 3 )] = X( 1 )+ X( 3 )2
Apa yang saya lakukan adalah sebagai berikut:
Saya menemukan kepadatan bersyarat
f( x( 2 )| x( 1 ), x( 3 )) = f( x( 1 ), x( 2 ), x( 3 ))f( x( 1 ), x( 3 ))
Saya mengintegrasikan
E [ X( 2 )| X( 1 ), X( 3 )] =∫x f( x | x( 1 ), x( 3 )) dx
Detail:
Saya mengadopsi rumus umum untuk kepadatan statistik pesanan (dengan indikator himpunan ) Asaya{A}A
fx(1),…,x(n)(x1,⋯,xn)=n!∏i=1nfx(xi)I{x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)}(x1,⋯,xn)
untuk mendapatkan untuk kasus saya
fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1≤x2≤⋯≤xn}(x1,⋯,x3)
marginal dari adalahfx(1),x(3)(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2
itu adalah
fx(1),x(3)(u,v)=∫3!1θ3I{x1=u≤x2≤x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[v−u]
untuk itu
f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iu≤x2≤⋯≤v(u,x2,v)3!1θ3[v−u]=[v−u]−1I{u<x2< v }
pemberian yang mana
E [ X( 2 )| X( 1 )= u , X( 3 )= v ] = [ v - u ]- 1∫vkamux dx = [ v - u ]- 1[ v2- kamu2]2= u + v2
Jawaban:
Karena semuanya memiliki distribusi seragam, semua variabel (tidak berurutan) diasumsikan independen, dan tidak ada statistik urutan lain yang terletak antara dan , memiliki distribusi seragam terpotong didukung pada interval . Maksudnya jelas adalah , QED.X ( 1 ) X ( 3 ) X ( 2 ) [ X ( 1 ) , X ( 3 ) ] ( X ( 1 ) + X ( 3 ) ) / 2Xsaya X( 1 ) X( 3 ) X( 2 ) [ X( 1 ), X( 3 )] ( X( 1 )+ X( 3 )) / 2
Jika Anda ingin demonstrasi formal, perhatikan saat iid dengan distribusi F yang benar-benar kontinu, kepadatan bersyarat X ( k ) (tergantung pada semua statistik urutan lainnya) adalah d F ( x k ) / ( F ( x ( k + 1 ) ) - F ( x ( k - 1 ) ) ) , yang merupakan distribusi terpotong. (Ketika k = 1 ,Xsaya F X( k ) dF( xk) / ( F( x( k + 1 )) - F( x( k - 1 )) ) k = 1 dianggap 0 ; dan ketika k = n , F ( x n + 1 ) dianggap sebagai 1. ) Ini berikut daripdf Gabungan fungsi statistik pesanan, misalnya, bersama dengan definisi kepadatan bersyarat.F( x0) 0 k = n F( xn + 1) 1
sumber