Cara yang lebih mudah untuk menemukan

9

Pertimbangkan 3 sampel awal yang diambil dari distribusi seragam u(θ,2θ) , di mana θ adalah parameter. Saya ingin mencari

E[X(2)|X(1),X(3)]
mana X(i) adalah statistik pesanan .i

Saya berharap hasilnya menjadi Tetapi satu-satunya cara saya dapat menunjukkan hasil ini tampaknya terlalu panjangnya, saya tidak dapat menemukan solusi sederhana, apakah saya melewatkan sesuatu, apakah ada jalan pintas?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

Apa yang saya lakukan adalah sebagai berikut:

  • Saya menemukan kepadatan bersyarat

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • Saya mengintegrasikan

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

Detail:

Saya mengadopsi rumus umum untuk kepadatan statistik pesanan (dengan indikator himpunan ) AI{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

untuk mendapatkan untuk kasus saya

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

marginal dari adalahfx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

itu adalah

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

untuk itu

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

pemberian yang mana

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2
mereka
sumber
Saya tidak melihat apa yang Anda lakukan, tetapi Anda mendapat jawaban dari , bukan u+vuv2u+v2
Mark L. Stone
@ MarkL. Batu Anda benar ... Saya memperbaikinya, baris terakhir, yang tidak terpisahkan dari salah. xdx
mereka

Jawaban:

5

Karena semuanya memiliki distribusi seragam, semua variabel (tidak berurutan) diasumsikan independen, dan tidak ada statistik urutan lain yang terletak antara dan , memiliki distribusi seragam terpotong didukung pada interval . Maksudnya jelas adalah , QED.X ( 1 ) X ( 3 ) X ( 2 ) [ X ( 1 ) , X ( 3 ) ] ( X ( 1 ) + X ( 3 ) ) / 2XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


Jika Anda ingin demonstrasi formal, perhatikan saat iid dengan distribusi F yang benar-benar kontinu, kepadatan bersyarat X ( k ) (tergantung pada semua statistik urutan lainnya) adalah d F ( x k ) / ( F ( x ( k + 1 ) ) - F ( x ( k - 1 ) ) ) , yang merupakan distribusi terpotong. (Ketika k = 1 ,XiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1 dianggap 0 ; dan ketika k = n , F ( x n + 1 ) dianggap sebagai 1. ) Ini berikut daripdf Gabungan fungsi statistik pesanan, misalnya, bersama dengan definisi kepadatan bersyarat.F(x0)0k=nF(xn+1)1

whuber
sumber
Whuber, ketika Anda menulis Anda merujuk pada kepadatan probabilitas X, apakah saya benar? dF(xk)
mereka
1
Ya itu benar. Menurut definisi, (Secara teknis, saya seharusnya menyebut ini "elemen probabilitas" daripada "kepadatan".)
dF(x)=dFdx(x)dx.
whuber