Memperkirakan mean dan st dev dari kurva gaussian terpotong tanpa lonjakan

Misalkan saya memiliki kotak hitam yang menghasilkan data mengikuti distribusi normal dengan rata-rata m dan standar deviasi. Namun, anggaplah bahwa setiap kali output nilai <0 itu tidak merekam apa pun (bahkan tidak bisa mengatakan bahwa itu menghasilkan nilai seperti itu). Kami memiliki distribusi gaussian terpotong tanpa lonjakan.

Bagaimana saya bisa memperkirakan parameter ini?

Model untuk data Anda adalah:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Dengan demikian, fungsi kerapatan adalah:

dimana,

adalah standar normal cdf.$\phi(.)$

Anda kemudian dapat memperkirakan parameter dan σ menggunakan metode kemungkinan maksimum atau bayesian.$\mu$$\sigma$

Seperti yang disarankan oleh Srikant Vadali, Cohen dan Hald memecahkan masalah ini menggunakan ML (dengan pencari akar Newton-Raphson) sekitar tahun 1950. Makalah lain adalah "Perkiraan dalam Distribusi Normal Terpotong" Max Halperin yang tersedia di JSTOR (bagi mereka yang memiliki akses). Googling "estimasi gaussian terpotong" menghasilkan banyak hit yang bermanfaat.

Detail disediakan di utas yang menggeneralisasikan pertanyaan ini (untuk distribusi terpotong secara umum). Lihat Penduga kemungkinan maksimum untuk distribusi terpotong . Ini juga mungkin menarik untuk membandingkan estimator Kemungkinan Maksimum untuk solusi Maksimum Entropi diberikan (dengan kode) di Max Entropi Solver di R .

$a=0$$\mu_t$$\sigma_t$

1. $\mu$$\sigma$

   $\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

   $\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

2. $TB=a=0$$\bar{x}$ :

   $TB = a$$\bar{x} \le 3s$

3. $\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$$Q(\omega)$

   $\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

   $P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

   $P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

   $Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$

4. $\omega \le 0,57081$$\mu_t$$<0$

5. $\mu_t$$\sigma_t$

   $\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

   $\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Itu saja...