Bagaimana cara menguji secara statistik apakah jaringan saya (grafik) adalah jaringan "dunia kecil" atau tidak?

Sebuah jaringan-dunia kecil adalah jenis grafik matematika di mana sebagian besar node tidak tetangga satu sama lain, tapi yang paling node dapat dicapai dari setiap lain oleh sejumlah kecil hop atau langkah-langkah. Secara khusus, jaringan dunia kecil didefinisikan sebagai jaringan di mana jarak tipikal L antara dua node yang dipilih secara acak (jumlah langkah yang diperlukan) tumbuh secara proporsional ke logaritma dari jumlah node N dalam jaringan, yaitu

$$L \approx \log(N)$$

Hubungan antara L dan N adalah "aturan praktis". Saya mencari penentuan grafik dunia kecil yang lebih profesional untuk penelitian saya. Bagaimana saya bisa menguji apakah grafik saya adalah grafik dunia kecil atau tidak?

The percobaan-dunia kecil terdiri beberapa percobaan yang dilakukan oleh Stanley Milgram dan peneliti lainnya meneliti panjang jalur rata-rata untuk jaringan sosial dari orang di Amerika Serikat. Penelitian ini inovatif karena menunjukkan bahwa masyarakat manusia adalah jaringan tipe dunia kecil yang dicirikan oleh panjang jalur pendek. Eksperimen sering dikaitkan dengan frasa "enam derajat pemisahan", meskipun Milgram tidak menggunakan istilah ini sendiri.

Terima kasih sebelumnya.

TL; DR:

Kamu tidak bisa

Apa yang biasanya dilakukan

"Keadaan terkini" dalam menentukan apakah suatu jaringan adalah dunia kecil menggunakan pendekatan berikut:

1. Hitung rata-rata panjang jalur terpendek  dan koefisien pengelompokan  dari jaringan Anda.$L$$C$

2. Hasilkan ansambel jaringan model-nol yang sesuai, seperti grafik acak Erdős-Rényi , atau grafik acak Maslov-Sneppen .

3. Hitung rata-rata panjang jalur terpendek rata-rata atas rangkaian jaringan model-nol ini; menghitung analog.$L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. Hitung jalur terpendek yang dinormalisasi . dan .$λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. Jika dan memenuhi kriteria tertentu (misalnya, dan ), panggil jaringan itu jaringan dunia-kecil.$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

Gagasan di balik ini adalah:

• Jaringan dunia kecil harus memiliki beberapa struktur spasial, yang tercermin dari koefisien clustering yang tinggi. Sebaliknya, jaringan acak tidak memiliki struktur seperti itu dan koefisien clustering yang rendah.

• Jaringan dunia kecil efisien dalam berkomunikasi dan serupa sehingga memiliki panjang jalur terpendek yang kecil, sebanding dengan jaringan acak. Sebaliknya, jaringan spasial murni memiliki panjang jalur terpendek yang tinggi.

Di mana masalahnya

• Ini tidak mengatakan apa-apa tentang bagaimana jalur terpendek berskala dengan ukuran jaringan. Faktanya, untuk jaringan nyata, seluruh definisi yang Anda kutip tidak dapat diterapkan, karena tidak ada jaringan yang sama dengan jumlah node yang berbeda.

• Misalkan, kita mengambil beberapa definisi lain dari dunia kecil yang tidak secara langsung didasarkan pada nilai-nilai dan , misalnya:$λ$$γ$

  Jaringan dunia kecil adalah jaringan spasial dengan tambahan koneksi jarak jauh.

  Maka kita masih tidak dapat membuat implikasi yang kuat, apakah definisi seperti itu dipenuhi hanya menggunakan dan (atau sebenarnya langkah-langkah jaringan lainnya). Interpretasi dari banyak studi mengasumsikan bahwa semua jaringan adalah realisasi dari model Watts-Strogatz untuk beberapa probabilitas rewiring, yang tidak dibenarkan sama sekali: Kita tahu banyak model jaringan lain, yang realisasinya sama sekali berbeda dari model Watts-Strogatz.$λ$$γ$

• Metode di atas tidak kuat untuk kesalahan pengukuran. Kesalahan kecil ketika membangun jaringan dari pengukuran cukup untuk membuat, misalnya, kisi terlihat seperti jaringan dunia kecil, lihat misalnya, Bialonski et al., Chaos (2010) dan Papo et al., Front. Bersenandung. Neurosci. (2016) . Bahkan, saya tidak mengetahui adanya satu studi yang mengklaim bahwa beberapa jaringan empiris bukanlah jaringan dunia kecil.

Sidenote: Apa yang akan Anda dapatkan?

Saya tidak mengetahui adanya wawasan berguna yang dapat diturunkan dari beberapa jaringan menjadi dunia kecil. Klaim bahwa beberapa jenis jaringan dideskripsikan dengan baik oleh model jaringan tertentu (misalnya, model Watts-Strogatz) mungkin berguna untuk studi pemodelan, tetapi itu lebih jauh dari sekadar mengklaim dunia-kecil.

^{Penafian penuh: Salah satu makalah di atas adalah dari lingkungan akademik langsung saya.}

Indeks Small-Worldness dapat dihitung dalam "R" menggunakan fungsi smallworldness dalam paket qgraph .

Ini didasarkan pada: Humphries, MD, & Gurney, K. (2008). Network " small-world-ness": metode kuantitatif untuk menentukan kesetaraan jaringan kanonik . PLoS One, 3 (4), e0002051

Dari kertas:

"Jaringan sekarang dianggap sebagai 'dunia kecil' jika S> 1 - pernyataan yang dapat diuji secara statistik."