Pengukur untuk distribusi binomial

12

Bagaimana kita mendefinisikan estimator untuk data yang berasal dari distribusi binomial? Untuk bernoulli saya bisa memikirkan estimator yang mengestimasi parameter p, tetapi untuk binomial saya tidak bisa melihat parameter apa yang diestimasi ketika kita memiliki n karakterisasi distribusi?

Memperbarui:

Yang saya maksud dengan estimator adalah fungsi dari data yang diamati. Estimator digunakan untuk memperkirakan parameter distribusi yang menghasilkan data.

estimation binomial Rohit Banga
sumber

Apa pemahaman Anda tentang "penaksir"? Saya ingin tahu tentang itu, karena estimator tidak memiliki "parameter." Itu membuat saya khawatir bahwa Anda tidak mengkomunikasikan pertanyaan Anda dengan jelas. Mungkin Anda bisa memberikan contoh nyata dari situasi aktual yang Anda pertimbangkan.

whuber

@whuber menambahkan informasi lebih lanjut. beri tahu saya jika Anda ingin saya menambahkan lebih banyak detail atau jika pemahaman saya cacat.

Rohit Banga

Hasil edit sudah benar, tetapi contoh nyata masih akan membantu. Dalam banyak aplikasi distribusi Binomial,

bukan parameter: itu diberikan dan

adalah satu-satunya parameter yang diperkirakan. Sebagai contoh, jumlah

keberhasilan dalam

independen percobaan Bernoulli terdistribusi secara identik memiliki Binomial (

,

) distribusi dan salah satu estimator dari satu-satunya parameter

adalah

.

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

whuber

2

Saya akan senang melihat contoh, bahkan yang dibuat-buat, memperkirakan

dan

(dalam pengaturan yang sering). Pikirkan tentang hal ini: Anda mengamati satu hitungan, k , katakan

. Kami berharap

sekitar untuk sama

. Jadi, apakah kita memperkirakan

,

? Atau mungkin

,

? Atau hampir hal lainnya? :-) Atau Anda menyarankan Anda mungkin memiliki serangkaian pengamatan independen

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

semua dari umum sebuah Binomial

distribusi dengan baik

dan

tidak diketahui?

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$

whuber

1

Saya menyarankan yang terakhir - p dan n tidak diketahui. Saya ingin penduga untuk n dan p sebagai fungsi dari N titik data yang diamati.

Rohit Banga

12

Saya kira apa yang Anda cari adalah fungsi menghasilkan probabilitas. Derivasi dari fungsi yang menghasilkan probabilitas dari distribusi binomial dapat ditemukan di bawah

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

Namun, melihat Wikipedia saat ini selalu merupakan ide yang baik, walaupun saya harus mengatakan bahwa spesifikasi binomial dapat ditingkatkan.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

ProofGauss
sumber

1

Setiap distribusi memiliki beberapa parameter yang tidak diketahui. Misalnya dalam distribusi Bernoulli memiliki satu probabilitas parameter keberhasilan yang tidak diketahui (p). Demikian juga dalam distribusi Binomial memiliki dua parameter yang tidak diketahui n dan p. Tergantung pada tujuan Anda, parameter mana yang tidak diketahui yang ingin Anda perkirakan. Anda dapat memperbaiki satu parameter dan memperkirakan yang lainnya. Untuk informasi lebih lanjut, lihat ini

statistik cinta
sumber

Bagaimana jika saya ingin memperkirakan kedua parameter?

Rohit Banga

1

Untuk estimasi kemungkinan maksimum, Anda harus mengambil turunan dari fungsi kemungkinan sehubungan dengan parameter yang tertarik dan menyamakan persamaan itu menjadi nol, dan menyelesaikan persamaan tersebut. Maksud saya mengatakan prosedurnya sama seperti yang Anda lakukan saat memperkirakan 'p'. Anda harus melakukan hal yang sama dengan 'n'. periksa www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf yang ini

love-stats

p

$p$

N

$N$

0

$0$

1

$k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

$\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

Atau Anda bisa menghitung MLE (mungkin hanya secara numerik), misalnya menggunakan optimdalam R.

Karl
sumber

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

@whuber - dia tidak meminta penduga yang baik . ;)

Karl

1

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

Itu benar: terutama ketika mendekati , jumlah maksimum adalah MLE. Ini berfungsi cukup baik dalam kasus-kasus seperti itu, seperti yang Anda bayangkan. Untuk lebih kecil , bahkan dengan banyak data sulit untuk membedakan ini dari distribusi Poisson, yang secara efektif tak terbatas, yang mengarah ke ketidakpastian yang sangat besar dalam estimasi .

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

whuber

0

Saya pikir kita bisa menggunakan metode estimasi momen untuk memperkirakan parameter distribusi Binomial dengan mean dan varians.

Menggunakan metode estimasi momen untuk memperkirakan Parameter dan . [{\ hat {p}} _ n = \ frac {\ overline {X} -S ^ 2} {\ overline {X}}] [\ hat {m} _n = \ frac {\ overline {X} ^ 2} {\ overline {X} -S ^ 2}] Bukti Penduga parameter dan dengan Metode Momen adalah solusi dari sistem persamaan Maka persamaan kami untuk metode momen adalah: [\ overline {X} = mp] [S ^ 2 = mp (1-p).] $p$ $m$ $m$ $p$

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$

Aritmatika sederhana menunjukkan: [S ^ 2 = mp \ kiri (1 - p \ kanan) = \ bar {X} \ kiri (1 - p \ kanan)] [S ^ 2 = \ bar {X} - \ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2, \ mbox {karena itu} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}.] Kemudian, [\ bar {X} = mp, \ mbox {artinya,} m \ kiri (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ kanan)] [\ bar {X} = m \ kiri (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ kanan), \ mbox {atau} \ hat {m} = \ frac {\ bar {X} ^ 2} {\ bar {X} -S ^ 2}. ]

salma
sumber

1

Akan lebih baik jika Anda dapat memperluas ini, misalnya, dengan menulis rumus untuk estimator MoM. Kalau tidak, jawabannya tidak mandiri; yang lain (yang belum tahu jawabannya) harus mencari "metode momen" daring hingga mereka menemukan jawaban yang sebenarnya .

jbowman

apakah ada cara untuk membuat matematika di sini dengan benar?

David Refaeli

Pengukur untuk distribusi binomial

Jawaban: