Saya ingin mensimulasikan proses tamasya Brown (gerakan Brown yang dikondisikan selalu positif ketika hingga pada t = 1 ). Karena proses tamasya Brown adalah jembatan Brown yang dikondisikan untuk selalu positif, saya berharap untuk mensimulasikan gerakan tamasya Brown menggunakan jembatan Brown.
Dalam R, saya menggunakan paket 'e1017' untuk mensimulasikan proses jembatan Brown. Bagaimana saya bisa menggunakan proses jembatan Brown ini untuk membuat tamasya Brown?
Jawaban:
Tamasya Brown dapat dibangun dari jembatan menggunakan konstruksi berikut oleh Vervaat: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176995155
Perkiraan cepat dalam R, menggunakan kode BB @ whuber, adalah
Berikut ini plot lain (dari set.seed (21)). Pengamatan utama dengan tamasya adalah bahwa pengkondisian sebenarnya bermanifestasi sebagai "tolakan" dari 0, dan Anda tidak mungkin melihat tamasya mendekati pada interior . ( 0 , 1 )0 (0,1)
Selain itu: Distribusi nilai absolut jembatan Brown dan tamasya, dikondisikan untuk menjadi positif , adalah tidak sama. Secara intuitif, tamasya ini diusir dari asalnya, karena jalur Brown yang terlalu dekat dengan asalnya kemungkinan akan menjadi negatif segera setelah itu dan dengan demikian dihukum oleh pengkondisian. ( B B t ) 0 ≤ t ≤ 1(|BBt|)0≤t≤1 (BBt)0≤t≤1
Ini bahkan dapat diilustrasikan dengan jembatan berjalan acak sederhana dan perjalanan pada langkah, yang merupakan analog diskrit alami dari BM (dan konvergen ke BM saat langkah-langkah menjadi besar dan Anda skala ulang).6
Memang, ambil SRW simetris mulai dari . Pertama, mari kita pertimbangkan pengkondisian "jembatan" dan lihat apa yang terjadi jika kita hanya mengambil nilai absolut. Pertimbangkan semua jalur sederhana dengan panjang yang dimulai dan berakhir pada . Jumlah jalur tersebut adalah . Ada antaranya . Dengan kata lain, probabilitas untuk nilai absolut "jembatan" SRW kami (dikondisikan untuk berakhir pada ) untuk memiliki nilai 0 pada langkah adalah .s 6 00 s 6 0 (63)=20 2×(42)=12 |s2|=0 0 2 12/20=0.6
Kedua, kami akan mempertimbangkan pengkondisian "tamasya". Jumlah jalur sederhana non-negatif panjang yang berakhir pada adalah jumlah Catalan . Tepat dari jalur ini memiliki . Dengan demikian, probabilitas untuk "perjalanan" SRW kami (dikondisikan untuk tetap positif dan berakhir pada ) untuk memiliki nilai 0 pada langkah adalah .s 6=2∗3 0 Cm=3=(2mm)/(m+1)=5 2 s2=0 0 2 2/5=0.4<0.6
Jika Anda masih meragukan fenomena ini tetap ada dalam batas Anda dapat mempertimbangkan probabilitas untuk jembatan SRW dan kunjungan panjang memukul 0 pada langkah .4n 2n
Untuk perjalanan SRW: kami memiliki menggunakan aysmptotics dari wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki / Catalan_number . Yaitu seperti akhirnya.
Untuk abs (jembatan SRW): menggunakan asimptotik dari wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefisien . Ini seperti .
Dengan kata lain, probabilitas asimptotik untuk melihat jembatan SRW dikondisikan menjadi positif pada dekat tengah jauh lebih kecil dari itu untuk nilai absolut jembatan.0
Berikut ini adalah konstruksi alternatif berdasarkan proses Bessel 3D bukan jembatan Brown. Saya menggunakan fakta-fakta yang dijelaskan dalam https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ejp/1457125524
Tinjauan umum- 1) Mensimulasikan proses Bessel 3d. Ini seperti BM yang dikondisikan untuk menjadi positif. 2) Menerapkan penyelarasan ruang-waktu yang sesuai untuk mendapatkan jembatan Bessel 3 (Persamaan (2) di kertas). 3) Gunakan fakta (dicatat tepat setelah Teorema 1 di koran) bahwa jembatan Bessel 3 sebenarnya memiliki distribusi yang sama dengan tamasya Brown.
Kelemahan kecil adalah bahwa Anda perlu menjalankan proses Bessel untuk sementara waktu (T = 100 di bawah) pada grid yang relatif baik agar penskalaan ruang / waktu untuk menendang pada akhirnya.
Berikut hasilnya:
sumber
The Refleksi Prinsip menegaskan
Wikipedia , diakses 9/26/2017.
Dengan demikian kita dapat mensimulasikan jembatan Brown dan mencerminkannya tentang nilai hanya dengan mengambil nilai absolutnya. Jembatan Brown disimulasikan dengan mengurangi tren dari titik awal ke akhir dari gerakan Brown itu sendiri. (Tanpa kehilangan generalitas kita dapat mengukur waktu dalam satuan yang membuat Jadi, pada saat cukup kurangi dari .)a=0 (0,0) (T,B(T)) B T=1 t B(T)t B(t)
Prosedur yang sama dapat diterapkan untuk menampilkan gerak Brown yang bersyarat tidak hanya pada kembali ke nilai yang ditentukan pada waktu (nilainya untuk jembatan), tetapi juga pada sisa antara dua batas (yang harus mencakup nilai awal dari pada waktu dan nilai akhir yang ditentukan).T>0 0 0 0
Gerakan Brown ini dimulai dan diakhiri dengan nilai nol: itu adalah Jembatan Brown.
Grafik merah adalah tamasya Brown yang dikembangkan dari jembatan Brownian sebelumnya: semua nilainya tidak asli. Grafik biru telah dikembangkan dengan cara yang sama dengan mencerminkan jembatan Brown antara garis putus-putus setiap kali bertemu dengan mereka. Grafik abu-abu menampilkan jembatan Brown asli.
Perhitungannya sederhana dan cepat: bagilah waktu menjadi beberapa interval kecil, hasilkan kenaikan normal yang terdistribusi secara identik untuk setiap interval, kumpulkan, kurangi tren, dan lakukan refleksi yang diperlukan.
Ini
R
kode. Di dalamnya,W
adalah gerak Brown asli,B
adalah jembatan Brown, danB2
merupakan perjalanan dibatasi antara dua nilai yang ditentukanymin
(non-positif) danymax
(non-negatif). Tekniknya untuk melakukan refleksi menggunakan%%
operator modulus dan minimum yang sesuai dengan komponenpmin
mungkin menarik secara praktis.sumber
abs(B)
. Ingat, ini dimaksudkan sebagai gerakan Brown yang bergantung pada dua kendala: sama dengantarget
pada waktu dan di mana-mana non-negatif.Anda bisa menggunakan metode penolakan: mensimulasikan jembatan Brown dan menjaga yang positif. Berhasil.
Tapi. Ini sangat lambat, karena banyak lintasan sampel ditolak. Dan semakin besar "frekuensi" yang Anda atur, semakin kecil kemungkinan Anda menemukan lintasan.
Anda dapat mempercepatnya menjaga lintasan negatif juga.
sumber