Bagaimana cara menghitung pita prediksi untuk regresi non-linear?

The halaman bantuan untuk Prism memberikan penjelasan berikut untuk bagaimana menghitung band prediksi untuk regresi non-linear. Maafkan kutipan panjang, tapi saya tidak mengikuti paragraf kedua (yang menjelaskan bagaimana didefinisikan dan dihitung). Bantuan apa pun akan sangat dihargai.d Y / d $G|x$$dY/dP$

Perhitungan band kepercayaan dan prediksi cukup standar. Baca terus untuk perincian tentang bagaimana Prism menghitung prediksi dan pita kepercayaan dari regresi nonlinear.

Pertama, mari kita tentukan G | x, yang merupakan gradien dari parameter pada nilai X tertentu dan menggunakan semua nilai parameter yang paling cocok. Hasilnya adalah vektor, dengan satu elemen per parameter. Untuk setiap parameter, ini didefinisikan sebagai dY / dP, di mana Y adalah nilai Y dari kurva yang diberi nilai X tertentu dan semua nilai parameter paling cocok, dan P adalah salah satu parameter.)

G '| x adalah vektor gradien yang ditransposisikan, jadi itu adalah kolom daripada deretan nilai.

Cov adalah matriks kovarians (terbalik Hessian dari iterasi terakhir). Ini adalah matriks persegi dengan jumlah baris dan kolom sama dengan jumlah parameter. Setiap item dalam matriks adalah kovarians antara dua parameter.

Sekarang hitung c = G '| x * Cov * G | x. Hasilnya adalah angka tunggal untuk nilai X.

Pita keyakinan dan prediksi berpusat pada kurva paling cocok, dan meluas di atas dan di bawah kurva dalam jumlah yang sama.

Pita kepercayaan meluas di atas dan di bawah kurva dengan: = sqrt (c) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence%, DF)

Pita prediksi memperpanjang jarak lebih jauh di atas dan di bawah kurva, sama dengan: = sqrt (c + 1) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence%, DF)

Ini disebut Metode Delta.

Misalkan Anda memiliki beberapa fungsi ; perhatikan bahwa G ( ⋅ ) adalah fungsi dari parameter yang Anda perkirakan, β , dan nilai prediktor Anda, x . Pertama, temukan turunan dari fungsi ini sehubungan dengan vektor parameter Anda, β : G ′ ( β , x $y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$. Ini mengatakan, jika Anda mengubah sedikit parameter, seberapa banyak fungsi Anda berubah? Perhatikan bahwa turunan ini mungkin merupakan fungsi dari parameter Anda sendiri serta prediktornya. Misalnya, jika , maka turunannya adalah x exp ( β x ) , yang tergantung pada nilai β dan nilai x . Untuk mengevaluasi ini, Anda pasang di estimasi β bahwa prosedur Anda memberikan, β , dan nilai prediktor $G(\beta,x) = \exp (\beta x)$$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ di mana Anda ingin prediksi.

Delta Method, yang berasal dari prosedur kemungkinan maksimum, menyatakan bahwa varians dari akan menjadi G ' ( β , x ) T Var ( β ) G ' ( β , x ) , di mana var ( β$G\left(\hat{\beta}, x\right)$

$$G^\prime\left(\hat{\beta},x\right)^T \text{Var}\left(\hat{\beta}\right) G^\prime\left(\hat{\beta},x\right),$$ $\text{Var}\left(\hat{\beta}\right)$adalah matriks varians-kovarian estimasi Anda (ini sama dengan kebalikan dari Hessian --- turunan kedua dari fungsi kemungkinan pada estimasi Anda). Fungsi yang digunakan paket statistik Anda menghitung nilai ini untuk setiap nilai prediktor yang berbeda . Ini hanya angka, bukan vektor, untuk setiap nilai x .$x$$x$

$G(\cdot)$ pada titik tersebut.

$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

c$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$