Apakah distribusi ini memiliki nama? Atau apakah proses stokastik yang dapat menghasilkannya?

Ini adalah hukum kekuatan tersendiri.

(Ini adalah deskripsi - yang artinya akan dibuat tepat di bawah ini - daripada istilah teknis. Ungkapan "hukum kekuatan diskrit" memiliki makna teknis yang sedikit berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh @ Cardinal dalam komentar untuk jawaban ini.)

Untuk melihat ini, amati bahwa dekomposisi fraksi parsial dapat ditulis

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

Teleskop CDF menjadi bentuk tertutup:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Kebetulan, karena ini mudah dibalik, itu segera memberikan cara yang efisien untuk menghasilkan variabel acak dari distribusi ini: cukup menghitung mana terdistribusi secara merata pada .) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

Membedakan ungkapan ini sehubungan dengan menunjukkan bagaimana CDF dapat ditulis sebagai integral, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

dari mana

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Bentuk penulisan ini menunjukkan sebagai parameter skala untuk keluarga distribusi (kontinu) yang ditentukan oleh kepadatan $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

dan menunjukkan bagaimana adalah versi diskrit dari (diskalakan oleh ) yang diperoleh dengan mengintegrasikan probabilitas kontinu selama interval dari ke . Itu jelas hukum kekuatan dengan eksponen . Pengamatan ini memberi Anda pintu masuk ke literatur yang luas tentang undang-undang kekuasaan dan bagaimana mereka muncul dalam sains, teknik, dan statistik, yang mungkin menyarankan banyak jawaban untuk dua pertanyaan terakhir Anda. $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

whuber
sumber

(+1) Dari fungsi massa probabilitas, jelas bahwa sebagai , yang tampaknya cukup untuk menyimpulkan bahwa ini adalah distribusi hukum-kekuasaan. Bahkan, sebagai .

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

kardinal

@ cardinal Anda benar, tetapi ada batasan untuk argumen ini: ini hanya menunjukkan bahwa adalah asymptotically power law. Perhitungan menunjukkan bahwa itu persis versi discretized dari undang-undang kekuasaan.

p

$p$

whuber

Saya tidak begitu yakin tentang perbedaan yang Anda coba gambarkan. Sayangnya, saya belum mendapatkan kesempatan untuk memikirkannya dengan hati-hati, tetapi tampaknya Anda mendefinisikan distribusi hukum kekuatan diskrit sebagai salah satu yang merupakan versi terdistribusi dari distribusi hukum kekuasaan berkelanjutan. Apakah saya menafsirkan komentar Anda dengan benar? Bagaimanapun, ketika saya melihat referensi ke hukum kekuatan diskrit dalam literatur, definisi yang biasa tampaknya lebih lemah (yaitu, asimptotik) yang saya gunakan. (lanjutan)

kardinal

(Lanj.) Di sisi lain, distribusi Zipf tampaknya murni dari hukum kekuatan terpisah, namun saya tidak percaya itu dapat dihasilkan sebagai diskritisasi hukum kekuasaan berkelanjutan. Sudahkah saya salah menafsirkan maksud Anda? (Omong-omong, perkembangan Anda di atas cukup bagus. Pengakuan jumlah telescoping untuk cdf sangat bagus, seperti pengakuan skema pengambilan sampel yang mudah.)

kardinal

Oke, setelah sedikit penyelidikan, saya menemukan beberapa detail.

Ini adalah kasus khusus dari campuran kontinu dari distribusi geometris dengan Beta, sehingga bisa disebut distribusi Beta-geometrik . Khususnya, jika: dan: maka distribusi marginal memiliki distribusi ini. Dengan demikian, ini adalah kasus khusus dari distribusi binomial Beta-Negatif .

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

Ini memiliki beberapa properti menarik lainnya:

Ini memiliki rata-rata yang tak terbatas
Ini menjelaskan distribusi ekornya sendiri: jika memiliki distribusi ini dengan parameter , maka memiliki parameter . $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

Simon Byrne
sumber

Apakah distribusi ini memiliki nama? Atau apakah proses stokastik yang dapat menghasilkannya?

Jawaban: