Apakah ada ukuran kesamaan atau jarak antara dua matriks kovarians simetris (keduanya memiliki dimensi yang sama)?
Saya berpikir di sini analog dengan KL divergensi dari dua distribusi probabilitas atau jarak Euclidean antara vektor kecuali diterapkan pada matriks. Saya membayangkan akan ada beberapa pengukuran kesamaan.
Idealnya saya juga ingin menguji hipotesis nol bahwa dua matriks kovarian identik.
distributions
hypothesis-testing
covariance-matrix
kullback-leibler
information-theory
Ram Ahluwalia
sumber
sumber
Jawaban:
Anda dapat menggunakan salah satu norma (lihat Wikipedia tentang berbagai norma; perhatikan bahwa akar kuadrat dari jumlah jarak kuadrat, , disebut norma Frobenius, dan berbeda dari norma L_2 , yang merupakan akar kuadrat dari nilai eigen terbesar (AB) ^ 2 , meskipun tentu saja mereka akan menghasilkan topologi yang sama). Jarak KL antara dua distribusi normal dengan cara yang sama (katakan nol) dan dua matriks kovarian spesifik juga tersedia di Wikipedia sebagai \ frac12 [\ mbox {tr} (A ^ {- 1} B) - \ mbox {ln } (| B | / | A |)] .∥A−B∥p L2(A-B)2∑i,j(aij−bij)2−−−−−−−−−−−−√ L2 (A−B)2 12[tr(A−1B)−ln(|B|/|A|)]
Sunting: jika salah satu dari matriks adalah matriks tersirat model, dan yang lainnya adalah matriks kovarians sampel, maka tentu saja Anda dapat membentuk tes rasio kemungkinan antara keduanya. Koleksi favorit saya pribadi dari tes tersebut untuk struktur sederhana diberikan dalam Rencher (2002) Metode Analisis Multivariat . Kasus yang lebih maju dibahas dalam pemodelan struktur kovarians, di mana titik awal yang masuk akal adalah Bollen (1989) Persamaan Struktural dengan Variabel Laten .
sumber
Mendenotasikan dan matriks Anda berdua dimensi .Σ 2 pΣ1 Σ2 hal
Sunting: Saya mengedit proposal kedua dari kedua. Saya pikir saya telah salah mengerti pertanyaan itu. Proposal berdasarkan angka kondisi banyak digunakan dalam statistik yang kuat untuk menilai kualitas kecocokan. Sumber lama yang bisa saya temukan untuk itu adalah:
Saya awalnya termasuk ukuran rasio Det:
yang akan menjadi jarak Bhattacharyya antara dua distribusi Gaussian yang memiliki vektor lokasi yang sama. Awalnya saya harus membaca pertanyaan yang berkaitan dengan pengaturan di mana dua kovarian berasal dari sampel dari populasi diasumsikan memiliki sarana yang sama.
sumber
Ukuran yang diperkenalkan oleh Herdin (2005) Correlation Matrix Distance, Ukuran yang Berarti untuk Evaluasi Saluran MIMO Non-Stasioner adalah mana normanya adalah norma Frobenius.d= 1 - tr ( R1⋅ R2)∥ R1∥ ⋅ ∥ R2∥,
sumber
Jarak matriks kovarians digunakan untuk melacak objek dalam Computer Vision.
Metrik yang saat ini digunakan dijelaskan dalam artikel: "Metrik untuk matriks kovarians" , oleh Förstner dan Moonen.
sumber