Telah diketahui bahwa kombinasi linear dari 2 variabel normal acak juga merupakan variabel normal acak. Adakah keluarga distribusi tidak normal yang umum (mis., Weibull) yang juga berbagi properti ini? Tampaknya ada banyak contoh tandingan. Misalnya, kombinasi linear seragam biasanya tidak seragam. Secara khusus, apakah ada keluarga distribusi tidak normal di mana kedua hal berikut ini benar:
- Kombinasi linear dari dua variabel acak dari keluarga itu setara dengan beberapa distribusi dalam keluarga itu.
- Parameter yang dihasilkan dapat diidentifikasi sebagai fungsi dari parameter asli dan konstanta dalam kombinasi linier.
Saya terutama tertarik pada kombinasi linier ini:
di mana dan disampel dari beberapa keluarga yang tidak normal, dengan parameter dan , dan berasal dari keluarga tidak normal yang sama dengan parameter .X 2 θ 1 θ 2 Y θ Y = f ( θ 1 , θ 2 , w )
Saya menggambarkan keluarga distribusi dengan 1 parameter untuk kesederhanaan, tapi saya terbuka untuk keluarga distribusi dengan beberapa parameter.
Saya juga mencari contoh di mana ada banyak ruang parameter pada dan untuk bekerja dengan tujuan simulasi. Jika Anda hanya dapat menemukan contoh yang berfungsi untuk beberapa dan yang sangat spesifik , itu akan kurang membantu.θ 2 θ 1 θ 2
sumber
Jawaban:
Telah diketahui bahwa kombinasi linear dari 2 variabel normal acak juga merupakan variabel normal acak. Adakah keluarga distribusi tidak normal yang umum (mis., Weibull) yang juga berbagi properti ini?
Distribusi normal memenuhi identitas konvolusi yang bagus: . Jika Anda merujuk pada teorema batas pusat, maka misalnya, distribusi gamma dengan koefisien bentuk yang sama akan berbagi properti itu dan berbelok menjadi distribusi gamma. Silakan lihat Catatan peringatan tentang permohonan teorema batas pusat . Namun, secara umum, dengan koefisien bentuk yang tidak sama, distribusi gamma akan "ditambahkan" oleh konvolusi yang tidak akan menjadi distribusi gamma melainkan fungsi gamma yang mengalikan fungsi hypergeometrik jenis pertama seperti yang ditemukan pada Persamaan. (2) dariX1∼N[μ1,σ21],X2∼N[μ2,σ22]⟹X1+X2∼N[μ1+μ2,σ21+σ22] konvolusi dari dua distribusi gamma . Definisi lain dari penambahan, yaitu membentuk distribusi campuran dari proses yang tidak berhubungan tidak perlu menunjukkan batas pusat, misalnya, jika sarana berbeda.
Mungkin ada contoh lain, saya belum melakukan pencarian lengkap. Penutupan untuk belit tampaknya tidak terlalu jauh. Untuk kombinasi linier, produk Pearson VII dengan Pearson VII adalah Pearson VII lainnya .
sumber
Saya kedengarannya seperti Anda mencari kelas distribusi Levy-stable . Ini adalah kelas dari semua distribusi yang memenuhi properti stabilitas:P P∈P
Dengan kata lain, untuk setiap distribusi di kelas ini, jika Anda mengambil fungsi linier dari dua variabel acak independen dengan distribusi itu, maka ini memiliki distribusi yang sama dengan fungsi affine dari variabel acak tunggal dengan distribusi itu. (Perhatikan bahwa persyaratan stabilitas ini dapat diperketat dengan menetapkan , yang memberikan subkelas distribusi yang sangat stabil .)d=0
Distribusi Levy-stable dapat dianggap sebagai keluarga distribusi dalam haknya sendiri, dan dalam pengertian ini adalah satu-satunya keluarga distribusi dengan properti stabilitas ini, karena (menurut definisi) ia mencakup semua distribusi dengan properti ini. Distribusi normal berada dalam kelas distribusi Levy-stable, seperti halnya distribusi Cauchy , distribusi Landau , dan distribusi Holtsmark .
sumber