pdf produk dari dua variabel acak Uniform independen

Misalkan ~ dan ~ menjadi dua variabel acak independen dengan distribusi yang diberikan. Apa distribusi ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

Saya telah mencoba konvolusi, mengetahui itu

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

Kita juga tahu bahwa $f_Y(y) = \frac{1}{20}$ ,

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Sesuatu memberi tahu saya, ada sesuatu yang aneh di sini karena tidak terputus pada 0. Tolong bantu.

Jawaban yang bagus, teliti, dan elegan telah diposting. Tujuan yang satu ini adalah untuk mendapatkan hasil yang sama dengan cara yang mungkin sedikit lebih mengungkapkan struktur yang mendasari . Ini menunjukkan mengapa fungsi densitas probabilitas (pdf) harus tunggal pada .$XY$$0$

---

Banyak yang dapat dicapai dengan berfokus pada bentuk distribusi komponen :

• U ( 0 , 1 ) U ( 0 , 1 $X$ adalah dua kali variabel acak . adalah karakteristik bentuk "bagus" standar dari semua distribusi seragam.$U(0,1)$$U(0,1)$

• U ( 0 , 1 $|Y|$adalah sepuluh kali variabel acak .$U(0,1)$

• Tanda mengikuti distribusi Rademacher: sama dengan atau , masing-masing dengan probabilitas .- 1 1 1 /$Y$$-1$$1$$1/2$

(Langkah terakhir ini mengubah varian non-negatif menjadi distribusi simetris sekitar , yang kedua ekornya terlihat seperti distribusi asli.)$0$

Oleh karena itu (a) simetris tentang dan (b) nilai absolutnya adalah kali produk dari dua variabel acak independen.0 2 × 10 = 20 U ( 0 , 1 $XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

Produk seringkali disederhanakan dengan mengambil logaritma. Memang, telah diketahui bahwa log negatif dari variabel memiliki distribusi Eksponensial (karena ini adalah tentang cara paling sederhana untuk menghasilkan varian eksponensial acak), di mana log negatif dari produk keduanya memiliki distribusi jumlah dua Eksponensial. Eksponensial adalah distribusi . Distribusi gamma dengan parameter skala yang sama mudah untuk ditambahkan: Anda cukup menambahkan parameter bentuknya. Karenanya, varian A plus memiliki distribusi . Karena ituΓ ( 1 , 1 ) Γ ( 1 , 1 ) Γ ( 1 , 1 ) Γ ( 2 , 1 $U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

Variabel acak adalah versi simetri kali dari eksponensial negatif dari variabel .20 Γ ( 2 , 1 $XY$$20$$\Gamma(2,1)$

Konstruksi PDF dari distribusi ditunjukkan dari kiri ke kanan, mulai dari seragam, ke eksponensial, ke , ke eksponensial negatifnya , untuk hal yang sama diskalakan oleh , dan akhirnya versi simetri itu. PDF-nya tidak terbatas pada , mengkonfirmasikan diskontinuitas di sana.U ( 0 , 1 ) Γ ( 2 , 1 ) 20 $XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

Kami mungkin puas untuk berhenti di sini. Misalnya, karakterisasi ini memberi kita cara untuk menghasilkan realisasi secara langsung, seperti dalam ungkapan ini :$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Analisis tesis juga mengungkapkan mengapa pdf meledak pada . $0$ Singularitas itu pertama kali muncul ketika kami mempertimbangkan eksponensial (negatif dari distribusi , yang sesuai dengan mengalikan satu varian dengan yang lain. Nilai dalam (katakanlah) dari muncul dalam banyak cara, termasuk (tetapi tidak terbatas pada) ketika (a) salah satu faktor kurang dari atau (b) kedua faktornya kurang dari . Root kuadrat itu jauh lebih besar dari sendiri ketika dekat denganU ( 0 , 1 ) ε 0 ε $\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$ εε0$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$. Ini memaksa banyak kemungkinan, dalam jumlah yang lebih besar dari , untuk dimasukkan ke dalam interval panjang . Agar hal ini dimungkinkan, kerapatan produk harus menjadi besar secara acak pada . Manipulasi selanjutnya - penyelamatan dengan faktor dan simetrizing - jelas tidak akan menghilangkan singularitas itu. ε0$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

Karakterisasi deskriptif dari jawaban ini juga mengarah langsung ke rumus dengan minimum keributan, menunjukkannya lengkap dan ketat. Misalnya, untuk mendapatkan pdf , mulailah dengan elemen probabilitas dari distribusi ,Γ ( 2 , 1 $XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Membiarkan menyiratkan dan . Transformasi ini juga membalik urutan: nilai yang lebih besar dari mengarah ke nilai yang lebih kecil dari . Untuk alasan ini kita harus meniadakan hasil setelah penggantian, memberid t = - d ( log ( z ) ) = - d z / z 0 < z < 1 t $t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

Faktor skala mengkonversi ini menjadi$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

Akhirnya, simetriasinya menggantikan dengan, memungkinkan nilainya berkisar dari hingga , dan membagi pdf dengan untuk menyebarkan probabilitas total secara merata di seluruh interval dan :| z | - 20 20 2 ( - 20 , 0 ) ( 0 , 20 $z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

Dalam derivasi Anda, Anda tidak menggunakan kepadatan . Karena , jadi dalam rumus konvolusi Anda (Saya juga mengoreksi Jacobian dengan menambahkan nilai absolut). Karenanya, X ∼ U ( 0 , 2 ) f X ( x ) = $X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$h(v)=

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$ Di sini adalah konfirmasi dengan simulasi hasil:

diperoleh sebagai

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)