Distribusi yang menggambarkan perbedaan antara variabel terdistribusi binomial negatif?

18

Sebuah Skellam Distribusi menjelaskan perbedaan antara dua variabel yang memiliki distribusi Poisson. Apakah ada distribusi serupa yang menggambarkan perbedaan antara variabel yang mengikuti distribusi binomial negatif?

Data saya dihasilkan oleh proses Poisson, tetapi mencakup cukup banyak noise, yang menyebabkan penyebaran berlebihan dalam distribusi. Dengan demikian, pemodelan data dengan distribusi binomial negatif (NB) bekerja dengan baik. Jika saya ingin memodelkan perbedaan antara dua set data NB ini, apa opsi saya? Jika itu membantu, anggaplah cara dan varians yang serupa untuk dua set.

chrisamiller
sumber
Ada banyak distribusi yang mudah digambarkan yang tidak memiliki nama standar.
Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

22

Saya tidak tahu nama distribusi ini, tetapi Anda bisa mendapatkannya dari hukum probabilitas total. Misalkan masing-masing memiliki distribusi binomial negatif dengan parameter dan , masing-masing. Saya menggunakan parameterisasi di mana mewakili jumlah keberhasilan sebelum kegagalan r_ {1} 'th, dan r_ {2} ' th. Kemudian,( r 1 , p 1 ) ( r 2 , p 2 ) X , Y r 1 r 2X,Y(r1,hal1)(r2,hal2)X,Yr1r2

P(XY=k)=EY(P(XY=k))=EY(P(X=k+Y))=y=0P(Y=y)P(X=k+y)

Kita tahu

P(X=k+y)=(k+y+r11k+y)(1p1)r1p1k+y

dan

P(Y=y)=(y+r21y)(1p2)r2p2y

begitu

P(X-Y=k)=y=0(y+r2-1y)(1-hal2)r2hal2y(k+y+r1-1k+y)(1-hal1)r1hal1k+y

Itu tidak cantik (Astaga!). Satu-satunya penyederhanaan yang saya lihat langsung adalah

hal1k(1-hal1)r1(1-hal2)r2y=0(hal1hal2)y(y+r2-1y)(k+y+r1-1k+y)

yang masih sangat jelek. Saya tidak yakin apakah ini membantu tetapi ini juga dapat ditulis ulang sebagai

hal1k(1-hal1)r1(1-hal2)r2(r1-1)!(r2-1)!y=0(hal1hal2)y(y+r2-1)!(k+y+r1-1)!y!(k+y)!

Saya tidak yakin jika ada ekspresi disederhanakan untuk jumlah ini tetapi bisa didekati secara numerik jika Anda hanya perlu untuk menghitung -valueshal

Saya memverifikasi dengan simulasi bahwa perhitungan di atas sudah benar. Berikut adalah fungsi R mentah untuk menghitung fungsi massa ini dan melakukan beberapa simulasi

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

Saya telah menemukan jumlah yang konvergen sangat cepat untuk semua nilai yang saya coba, jadi pengaturan UB lebih tinggi dari 10 atau lebih tidak perlu. Perhatikan bahwa fungsi built in rnbinom parameter parameter binomial negatif dalam hal jumlah kegagalan sebelum keberhasilan , dalam hal ini Anda harus mengganti semua di dalam rumus di atas dengan untuk kompatibilitas.rhal1,hal21-hal1,1-hal2

Makro
sumber
Terima kasih. Saya perlu waktu untuk mencerna ini, tetapi bantuan Anda sangat dihargai.
chrisamiller
-2

Iya. distribusi Laplace diskret umum miring adalah perbedaan dua variabel acak terdistribusi binomial negatif. Untuk klarifikasi lebih lanjut, lihat artikel online yang tersedia "condong generalised Discrete Distribution umum" oleh seetha Lekshmi.V. dan simi sebastian

simi sebastian
sumber
4
Bisakah Anda memberikan kutipan lengkap & ringkasan informasi di koran sehingga pembaca masa depan dapat memutuskan apakah itu sesuatu yang ingin mereka kejar?
gung - Reinstate Monica
Artikel yang disebutkan oleh @ simi-sebastian (penulis?) Adalah ijmsi.org/Papers/Volume.2.Issue.3/K0230950102.pdf . Namun, kecuali saya salah, ini hanya membahas kasus variabel Binomial Negatif dan keduanya memiliki parameter dispersi yang sama, daripada kasus yang lebih umum yang dijelaskan oleh poster asli. XY
Constantinos