Bagaimana cara menghitung interval kepercayaan untuk distribusi yang tidak normal?

Saya memiliki 383 sampel yang memiliki bias berat untuk beberapa nilai umum, bagaimana cara menghitung 95% CI untuk rata-rata? CI yang saya hitung sepertinya jauh, yang saya asumsikan adalah karena data saya tidak terlihat seperti kurva ketika saya membuat histogram. Jadi saya pikir saya harus menggunakan sesuatu seperti bootstrap, yang saya tidak mengerti dengan baik.

Ya, bootstrap adalah alternatif untuk mendapatkan interval kepercayaan untuk mean (dan Anda harus melakukan sedikit usaha jika Anda ingin memahami metode ini).

Idenya adalah sebagai berikut:

1. Sampel ulang dengan penggantian B kali.
2. Untuk masing-masing sampel ini hitung rata-rata sampel.
3. Hitung interval kepercayaan bootstrap yang sesuai .

Mengenai langkah terakhir, ada beberapa jenis interval kepercayaan bootstrap (BCI). Referensi berikut menyajikan diskusi tentang sifat-sifat berbagai jenis BCI:

http://staff.ustc.edu.cn/~zwp/teach/Stat-Comp/Efron_Bootstrap_CIs.pdf

http://www.tau.ac.il/~saharon/Boot/10.1.1.1.133.8405.pdf

Merupakan praktik yang baik untuk menghitung beberapa BCI dan mencoba memahami kemungkinan perbedaan di antara mereka.

Di R, Anda dapat dengan mudah mengimplementasikan ide ini menggunakan paket R 'boot' sebagai berikut:

rm(list=ls())
# Simulated data
set.seed(123)
data0 = rgamma(383,5,3)
mean(data0) # Sample mean

hist(data0) # Histogram of the data

library(boot) 

# function to obtain the mean
Bmean <- function(data, indices) {
  d <- data[indices] # allows boot to select sample 
    return(mean(d))
} 

# bootstrapping with 1000 replications 
results <- boot(data=data0, statistic=Bmean, R=1000)

# view results
results 
plot(results)

# get 95% confidence interval 
boot.ci(results, type=c("norm", "basic", "perc", "bca"))

Alternatif standar lain adalah menghitung CI dengan uji Wilcoxon. Dalam R

wilcox.test(your-data, conf.int = TRUE, conf.level = 0.95)

Sayangnya, ini memberi Anda CI di sekitar median (semu) bukan berarti, tetapi kemudian jika data sangat tidak normal mungkin median adalah ukuran yang lebih informatif.

Untuk data log-normal, Olsson (2005) menyarankan 'metode Cox yang dimodifikasi'

Jika terdistribusi secara normal dan , interval kepercayaan untuk adalah:$X$$\rm{E}(X) = \theta$$\log(\theta)$

Di mana , rata-rata sampel adalah dan varians sampel adalah . Untuk df, gunakan n-1.$Y = \log(X)$$Y$$\bar{Y}$$Y$$S^2$

Fungsi R di bawah:

ModifiedCox <- function(x){
  n <- length(x)
  y <- log(x)
  y.m <- mean(y)
  y.var <- var(y)

  my.t <- qt(0.975, df = n-1)

  my.mean <- mean(x)
  upper <- y.m + y.var/2 + my.t*sqrt(y.var/n + y.var^2/(2*(n - 1)))
  lower <- y.m + y.var/2 - my.t*sqrt(y.var/n + y.var^2/(2*(n - 1)))

 return(list(upper = exp(upper), mean = my.mean, lower = exp(lower)))

}

Mengulangi contoh dari kertas Olsson

CO.level <- c(12.5, 20, 4, 20, 25, 170, 15, 20, 15)

ModifiedCox(CO.level)
$upper
[1] 78.72254

$mean
[1] 33.5

$lower
[1] 12.30929

Anda bisa menggunakan interval kepercayaan standar untuk mean: Ingatlah bahwa ketika kita menghitung interval kepercayaan untuk mean, kita dapat naik banding ke teorema batas pusat dan menggunakan interval standar (menggunakan titik-titik kritis dari distribusi-T), bahkan jika data yang mendasarinya tidak normal. Faktanya, selama distribusi data yang mendasarinya memiliki varian yang terbatas, distribusi mean sampel dengan pengamatan harus benar-benar tidak dapat dibedakan dari distribusi normal. Ini akan menjadi kasus bahkan jika distribusi data yang mendasarinya sangat berbeda dengan distribusi normal.$n=383$