CDF dinaikkan menjadi kekuatan?

Jika $F_Z$ adalah CDF, sepertinya $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) adalah CDF juga.

T: Apakah ini hasil standar?

T: Apakah ada cara yang baik untuk menemukan fungsi $g$ dengan $X \equiv g(Z)$ st $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ , di mana $x \equiv g(z)$

Pada dasarnya, saya memiliki CDF lain di tangan, $F_Z(z)^\alpha$ . Dalam beberapa hal, saya ingin mengkarakterisasi variabel acak yang menghasilkan CDF itu.

EDIT: Saya akan senang jika saya bisa mendapatkan hasil analitik untuk kasus khusus $Z \sim N(0,1)$ . Atau setidaknya tahu bahwa hasil seperti itu tidak bisa diterapkan.

Saya suka jawaban yang lain, tetapi belum ada yang menyebutkan yang berikut. Kejadian terjadi jika dan hanya jika { m a x ( U , V ) ≤ t } , jadi jika U dan V independen dan α $\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$ , maka F W ( t ) = F U ( t ) $W = \mathrm{max}(U,V)$ sehingga untuk α bilangan bulat positif (misalnya, . . . Z n ) dimana Z 's adalah iid$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$$\alpha$ ) ambil X = m a x ( Z 1$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

Untuk kita dapat beralih untuk mendapatkan F Z = F n X , jadi X akan menjadi variabel acak sehingga maks n salinan independen memiliki distribusi yang sama dengan Z (dan ini bukan salah satu teman akrab kita , secara umum). $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

Kasus bilangan rasional positif (katakanlah, α = m / n ) mengikuti dari sebelumnya karena ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Untuk yang irasional, pilih urutan rasional positif a k yang konvergen ke α ; lalu urutannya$\alpha$$a_{k}$$\alpha$ (di mana kita dapat menggunakan trik di atas kami untuk setiap k ) akan berkumpul di distribusi ke X yang diinginkan.$X_{k}$$k$$X$

Ini mungkin bukan karakterisasi yang Anda cari, tetapi paling tidak memberikan beberapa ide tentang bagaimana berpikir tentang untuk α yang cukup bagus. Di sisi lain, saya tidak begitu yakin seberapa bagus yang bisa didapat: Anda sudah memiliki CDF, jadi aturan rantai memberi Anda PDF, dan Anda dapat menghitung momen hingga matahari terbenam ...? Memang benar sebagian besar$F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$ tidak akan memiliki X yang familier untuk α = $Z$$X$ , tetapi jika saya ingin bermain-main dengan contoh untuk mencari sesuatu yang menarik saya mungkin mencobaZterdistribusi secara seragam pada interval satuan denganF(z)$\alpha = \sqrt{2}$$Z$ , 0 < z < 1 .$F(z) = z$$0<z<1$

---

EDIT: Saya menulis beberapa komentar dalam jawaban @ SM, dan ada pertanyaan tentang aritmatika saya, jadi saya akan menulis apa yang saya maksud dengan harapan lebih jelas.

@kartinal dengan benar dalam komentar ke @JMS jawab menulis bahwa masalahnya disederhanakan menjadi atau lebih umum ketika Z belum tentu N ( 0 , 1 ) , kami memiliki x

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ Maksud saya adalah bahwa ketika memiliki fungsi invers yang bagus, kita bisa menyelesaikan fungsi y / α ( x ) ) $F$ dengan aljabar dasar. Saya menulis di komentar bahwa g harus y = g ( x ) = F - 1 ( F $y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Mari kita ambil kasus khusus, tancapkan sesuatu, dan lihat cara kerjanya. Misalkan memiliki distribusi Exp (1), dengan CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , dan inversikan CDF F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Sangat mudah untuk menyambungkan semuanya untuk menemukan g ln ( 1 - ( 1 - e - x$X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ ; setelah selesai kita mendapatkan Jadi, secara ringkas, klaim saya adalah jikaX∼Exp(1)dan jika kita mendefinisikan Y=-ln ( 1-(1- e - X ) 1 / α ) , makaY 1 - e - y ) α . Kita bisa membuktikan ini secara langsung (lihatP(Y≤y $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ akan memiliki CDF yang terlihat seperti $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ dan gunakan aljabar untuk mendapatkan ekspresi, di sebelah langkah terakhir kita membutuhkan Probabilitas Integral Transform). Hanya dalam kasus (sering diulang) bahwa saya gila, saya menjalankan beberapa simulasi untuk mengecek apakah itu berfungsi, ... dan ternyata berhasil. Lihat di bawah. Untuk membuat kode lebih mudah saya menggunakan dua fakta: Jika  U ∼ U n i f ( 0 , 1 )  maka  U 1 / α ∼ B e t $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Plot hasil simulasi berikut.

Kode R yang digunakan untuk menghasilkan plot (label minus) adalah

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Kelihatannya cocok, menurut saya? Mungkin saya tidak gila (kali ini)?

Bukti tanpa kata-kata

$F$$F^\alpha$$\alpha \lt 1$$z$$x = g(z)$

Q1) Ya. Ini juga berguna untuk menghasilkan variabel yang dipesan secara stokastik; Anda dapat melihat ini dari gambar cantik @ whuber :).$\alpha>1$

$F_z(z)^\alpha$$1$$0$$F_z$ memiliki sifat-sifat ini sehingga semuanya mudah ditampilkan.

T2) Sepertinya itu akan sangat sulit secara analitik, kecuali $F_Z$ spesial