Mengintegrasikan CDF empiris

Saya memiliki distribusi empiris . Saya menghitungnya sebagai berikut$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

Saya menyatakan , yaitu, adalah pdf sedangkan adalah cdf.h $h(x) = dG/dx$$h$$G$

Saya sekarang ingin menyelesaikan persamaan untuk batas atas integrasi (katakanlah, ), sehingga nilai yang diharapkan dari adalah beberapa .x $a$$x$$k$

Yaitu, mengintegrasikan dari ke , saya harus memiliki . Saya ingin menyelesaikan untuk .b ∫ x h ( x ) d x = k $0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

Mengintegrasikan oleh bagian, saya dapat menulis ulang persamaan sebagai

$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$ , di mana integralnya adalah dari hingga ------- (1)$0$$b$

Saya pikir saya bisa menghitung integral sebagai berikut

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

Tetapi ketika saya mencoba menggunakan fungsi ini dengan

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

di mana kesenangan adalah persamaan (1), saya mendapatkan kesalahan berikut

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

Saya pikir masalahnya adalah fungsi saya intgrldievaluasi pada nilai numerik, sementara uniroot.Allmelewati intervalc(0,1000)

Bagaimana saya harus menyelesaikan untuk dalam situasi ini di R?$b$

Biarkan data yang diurutkan menjadi . Untuk memahami CDF empiris , pertimbangkan salah satu nilai dari sebut saja - dan anggaplah bahwa beberapa angka dari kurang dari dan dari sama dengan . Pilih interval di mana, dari semua nilai data yang mungkin, hanya muncul. Maka, menurut definisi, dalam interval ini memiliki nilai konstan untuk angka yang kurang dari G x i γ k x i γ t ≥ 1 x i γ [ α , β ] γ G k / n γ ( k + t ) / n $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$$G$$k/n$$\gamma$dan melompat ke nilai konstan untuk angka yang lebih besar dari .$(k+t)/n$$\gamma$

Pertimbangkan kontribusi untuk dari interval . Meskipun bukan fungsi - ini adalah ukuran titik ukuran pada - integral didefinisikan dengan cara integrasi oleh bagian-bagian untuk mengubahnya menjadi integral jujur-untuk-kebaikan. Mari kita lakukan ini selama interval :$\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

Integrand baru, meskipun tidak terputus pada , tidak dapat diintegrasikan. Nilainya mudah ditemukan dengan memecah domain integrasi ke bagian sebelumnya dan mengikuti lompatan di :$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

Mengganti ini menjadi hasil sebelumnya dan menarik hasil$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

Dengan kata lain, integral ini melipatgandakan lokasi (sepanjang sumbu ) dari setiap lompatan dengan ukuran lompatan itu. Ukuran lompatannya adalah$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

dengan satu istilah untuk masing-masing nilai data yang sama dengan . Menambahkan kontribusi dari semua lompatan menunjukkan hal itu$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

Kita mungkin menyebutnya "rata-rata parsial," melihat bahwa itu sama dengan kali jumlah parsial. (Harap dicatat bahwa ini bukan ekspektasi. Ini dapat dikaitkan dengan ekspektasi versi dari distribusi dasar yang telah terpotong ke interval : Anda harus mengganti faktor dengan mana adalah jumlah nilai data dalam .)$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

Mengingat , Anda ingin menemukan yangKarena jumlah parsial adalah himpunan nilai yang terbatas, biasanya tidak ada solusi: Anda harus puas dengan perkiraan terbaik, yang dapat ditemukan dengan mengurung antara dua cara parsial, jika memungkinkan. Yaitu, setelah menemukan seperti itu$k$$b$k$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

Anda akan mempersempit ke interval . Anda tidak dapat melakukan lebih baik dari itu menggunakan ECDF. (Dengan memasang beberapa distribusi kontinu ke ECDF Anda dapat melakukan interpolasi untuk menemukan nilai tepat , tetapi akurasinya akan tergantung pada keakuratan kecocokan.)[ x j - 1 , x j ) $b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

---

Rmelakukan perhitungan jumlah parsial dengan cumsumdan menemukan di mana ia melintasi nilai tertentu menggunakan whichkeluarga pencarian, seperti pada:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

Output dalam contoh ini data yang diambil iid dari distribusi Eksponensial adalah

Batas atas terletak di antara 0,39 dan 0,57

Nilai sebenarnya, memecahkan adalah . Kedekatannya dengan hasil yang dilaporkan menunjukkan kode ini akurat dan benar. (Simulasi dengan kumpulan data yang jauh lebih besar terus mendukung kesimpulan ini).$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

Berikut adalah plot empiris CDF untuk data ini, dengan nilai estimasi batas atas ditampilkan sebagai garis abu-abu putus-putus vertikal:$G$