Distribusi stabil yang dapat dikalikan?

Distribusi yang stabil tidak berubah-ubah berdasarkan konvolusi. Apa sub-keluarga dari distribusi stabil juga ditutup dengan perkalian? Dalam arti bahwa jika dan , maka fungsi kepadatan probabilitas produk, (hingga konstanta normalisasi) juga termasuk dalam ?f ∈ F g ∈ F f ⋅ g $F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

Catatan: Saya secara substansial mengubah konten pertanyaan ini. Tetapi idenya pada dasarnya sama, dan sekarang jauh lebih sederhana. Saya hanya punya jawaban parsial, jadi saya pikir tidak apa-apa.

"Distribusi stabil" adalah jenis distribusi keluarga skala lokasi tertentu. Kelas distribusi stabil parameter dengan dua bilangan real, yang stabilitas dan skewness .β ∈ [ - 1 , 1 $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Sebuah hasil dikutip dalam artikel Wikipedia menyelesaikan pertanyaan ini tentang penutupan di bawah produk dari fungsi kepadatan. Ketika adalah kepadatan distribusi stabil dengan , maka asimptotikα < $f$$\alpha \lt 2$

untuk fungsi yang diberikan secara eksplisit yang detailnya tidak penting. (Khususnya, akan menjadi nol baik untuk semua positif atau semua negatif atau keduanya.) Produk dari dua kerapatan tersebut karenanya akan secara asimptotik sebanding dengan di pada setidaknya satu ekor. Karena , produk ini (setelah renormalisasi) tidak dapat sesuai dengan distribusi dalam keluarga stabil yang sama.g x x | x | - 2 ( 1 + α ) 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + $g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(Memang, karena untuk setiap kemungkinan , produk dari ketiga fungsi kerapatan tersebut bahkan tidak dapat menjadi fungsi kerapatan dari setiap distribusi stabil. Itu menghancurkan setiap harapan untuk memperluas gagasan penutupan produk dari satu distribusi stabil tunggal ke satu set distribusi stabil.)α ′ ∈ ( 0 , 2 $3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

Satu-satunya kemungkinan yang tersisa adalah . Ini adalah distribusi Normal, dengan kepadatan sebanding dengan untuk parameter lokasi dan skala dan . Sangat mudah untuk memeriksa bahwa produk dari dua ekspresi seperti itu dari bentuk yang sama (karena jumlah dua bentuk kuadrat di adalah bentuk kuadrat lain di ).exp ( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) μ σ x $\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

Maka , jawaban yang unik adalah bahwa keluarga distribusi Normal adalah satu-satunya distribusi stabil yang tertutup kerapatan produk.

Saya tahu ini adalah jawaban parsial dan saya bukan ahli, tetapi ini mungkin membantu: jika salah satu dari dua pdf unimodal adalah log-cekung, maka konvolusi mereka adalah unimodal. Karena Ibragimov (1956) , melalui catatan ini . Rupanya, jika keduanya log-cekung, maka konvolusi juga log-cekung.

Sejauh penutupan produk, satu-satunya hasil "bersih" yang saya tahu untuk distribusi produk adalah teorema batas yang dijelaskan dalam jawaban math.se ini .

Bagaimana dengan versi terpotong ini ? Distribusi seragam yang dibatasi adalah kasus pembatas dari parameter bentuknya, dan sejauh yang saya tahu mereka unimodal dan log-cekung sehingga mereka memiliki konvolusi log-cekung unimodal. Saya tidak tahu tentang produk mereka. Ketika saya memiliki lebih banyak waktu akhir minggu ini saya bisa mencoba dan menjalankan beberapa simulasi untuk melihat apakah saya mendapatkan produk log-cekung dari distribusi kesalahan terpotong. Mungkin Govindarajulu (1966) akan membantu.

Saya tidak yakin apa kebijakan crossposting itu, tapi sepertinya matematika. Mungkin orang-orang juga bisa membantu Anda. Karena penasaran, apakah Anda mencoba membangun struktur aljabar dari distribusi probabilitas?