Ketika konversi dari Integer ke Single dapat kehilangan presisi

Saya sedang membaca artikel dari Microsoft tentang Pelebaran Konversi dan Opsi Ketat Aktif ketika saya sampai di bagian tersebut

Konversi berikut mungkin kehilangan presisi:

• Integer ke Tunggal
• Panjang ke Tunggal atau Ganda
• Desimal ke Satu atau Ganda

Namun, konversi ini tidak kehilangan informasi atau besarnya.

.. tetapi menurut artikel lain mengenai tipe data ,

• Tipe integer dapat menyimpan dari -2.147.483.648 hingga 2.147.483.647 dan

• Jenis tunggal dapat menyimpan dari

  • 1,401298E-45 hingga 3,4028235E + 38 untuk angka positif,
  • dan -3,4028235E + 38 hingga - 1,401298E-45 untuk angka negatif

.. jadi Single dapat menyimpan lebih banyak angka daripada Integer. Saya tidak dapat memahami dalam situasi apa konversi seperti itu dari Integer ke Single dapat kehilangan presisi. Bisakah seseorang menjelaskannya?

Single dapat menyimpan angka lebih banyak daripada Integer

Tidak, tidak bisa. Keduanya Singledan Integer32 Bit, yang berarti keduanya dapat menyimpan jumlah angka yang sama persis , yaitu 2 ³² = 4294967296 angka yang berbeda.

Karena rentang dari Singlejelas lebih besar dari itu, itu adalah segera jelas (karena Prinsip Pigeonhole ) bahwa itu tidak mungkin mewakili semua nomor dalam kisaran tersebut.

Dan karena rentang Integerpersis ukuran yang sama dengan jumlah maksimum angka yang dapat mewakili Integerdan sekaligus Single, tetapi Singlejuga dapat mewakili angka di luar rentang itu, jelas bahwa itu tidak mungkin mewakili semua angka di dalam rentang Integer.

Jika ada beberapa angka Integeryang tidak dapat direpresentasikan Single, konversi dari Integermenjadi Single harus mampu kehilangan informasi.

Tipe floating point (seperti Single dan Double) diwakili dalam memori oleh tanda, mantissa dan eksponen. Anggap saja sebagai notasi ilmiah:

Sign*Mantissa*Base^Exponent

Mereka - seperti yang Anda duga - menggunakan basis 2. Ada tweak lain yang memungkinkan untuk merepresentasikan infinity dan NaN, dan eksponen diimbangi (akan kembali ke sana), dan sebuah singkatan untuk mantissa (akan kembali ke sana juga) . Cari IEEE 754 standar yang mencakup perwakilan dan operasinya untuk detail lebih lanjut.

Untuk keperluan kita, kita dapat membayangkannya sebagai angka biner "mantissa", dan "eksponen" yang memberi tahu Anda di mana harus meletakkan pemisah desimal.

Dalam kasus Single, kita memiliki 1 bit untuk dia tanda tangani, 8 untuk eksponen dan 23 untuk mantissa.

Sekarang, masalahnya, kita akan menyimpan mantissa dari angka paling signifikan. Ingatlah bahwa semua nol di sebelah kiri tidak relevan. Dan memberi bahwa kita bekerja dalam biner, kita tahu bahwa digit paling signifikan adalah 1 ※. Yah, karena kita tahu itu, kita tidak harus menyimpannya. Berkat steno itu, jangkauan efektif mantra adalah 24 bit.

※: Kecuali jika nomor yang kita simpan adalah nol. Untuk itu kita akan mengatur semua bit ke nol. Namun, jika kita mencoba menafsirkan bahwa di bawah deskripsi yang saya berikan, Anda akan memiliki 2 ^ 24 (yang implisit 1) dikalikan dengan 1 (2 pangkat eksponen 0). Jadi, untuk memperbaikinya, nol eksponen adalah nilai khusus. Ada juga nilai-nilai khusus untuk menyimpan infinity dan NaN dalam eksponen.

Sesuai offset eksponen - selain menghindari nilai-nilai khusus - memiliki offset itu memungkinkan untuk menempatkan titik desimal sebelum dimulainya mantissa atau setelah akhirnya, tanpa perlu memiliki tanda untuk eksponen.

Ini berarti bahwa untuk jumlah besar, tipe floating point akan menempatkan titik desimal di luar akhir mantissa.

Ingat bahwa mantissa adalah angka 24 bit. Itu tidak akan pernah mewakili nomor 25 bit ... tidak memiliki bit ekstra itu. Dengan demikian, tunggal tidak dapat membedakan antara 2 ^ 24 dan 2 ^ 24 + 1 (ini adalah angka bit 25 pertama, dan mereka berbeda pada bit terakhir, yang tidak terwakili dalam single).

Jadi, untuk bilangan bulat kisaran tunggal adalah -2 ^ 24 hingga 2 ^ 24. Dan mencoba menambahkan 1 ke 2 ^ 24 akan menghasilkan 2 ^ 24 (karena sejauh menyangkut jenisnya, 2 ^ 24 dan 2 ^ 24 + 1 adalah nilai yang sama). Cobalah secara Online . Inilah sebabnya mengapa ada kehilangan informasi ketika mengkonversi dari integer ke single. Dan ini juga mengapa loop yang menggunakan satu atau ganda sebenarnya bisa menjadi loop tanpa batas tanpa Anda sadari.

Berikut ini adalah contoh aktual saat mengkonversi dari Integermenjadi Singlemungkin kehilangan presisi:

The Singlejenis dapat menyimpan semua bilangan bulat dari -16777216 ke 16777216 (inklusif), tetapi tidak dapat menyimpan semua bilangan bulat di luar kisaran ini. Sebagai contoh, tidak dapat menyimpan jumlah 16777217. Untuk itu, tidak dapat menyimpan setiap nomor lebih besar yang aneh dari 16.777.216.

Kita dapat menggunakan Windows PowerShell untuk melihat apa yang terjadi jika kita mengonversikan Integerke Singledan kembali:

PS C:\Users\tanne> [int][float]16777213
16777213
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777214
16777214
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777215
16777215
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777216
16777216
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777217
16777216
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777218
16777218
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777219
16777220

Perhatikan bahwa 16777217 dibulatkan ke 16777216, dan 16777219 dibulatkan ke 16777220.

Jenis titik apung mirip dengan "notasi ilmiah" dalam fisika. Angka tersebut dibagi menjadi bit tanda, eksponen (pengali) dan mantissa (angka signifikan). Jadi karena besarnya nilai meningkat ukuran langkah juga meningkat.

Floating point presisi tunggal memiliki 23 bit mantissa, tetapi ada "implisit 1", sehingga mantissa efektif 24 bit. Oleh karena itu semua bilangan bulat dengan magnitudo hingga ²⁴ dapat diwakili secara tepat dalam floating point presisi tunggal.

Di atas angka yang lebih sedikit berturut-turut dapat diwakili.

• Dari 2 ²⁴ hingga 2 ²⁵ hanya angka genap yang dapat diwakili.
• Dari 2 ²⁵ hingga 2 ²⁶ hanya kelipatan 4 yang dapat diwakili.
• Dari 2 ²⁶ hingga 2 ²⁷ hanya kelipatan 8 yang dapat diwakili.
• Dari 2 ²⁷ hingga 2 ²⁸ hanya kelipatan 16 yang dapat diwakili
• Dari 2 ²⁸ hingga 2 ²⁹ hanya kelipatan 32 yang dapat diwakili
• Dari 2 ²⁹ hingga 2 ³⁰ hanya kelipatan 64 yang dapat diwakili
• Dari 2 ³⁰ hingga 2 ³¹ hanya kelipatan 128 yang dapat diwakili

Jadi dari 2 ³² kemungkinan nilai integer bertanda 32 bit hanya 2 * (2 ²⁴ + 7 * 2 ²³ ) = 9 * 2 ²⁴ dapat direpresentasikan dalam floating point presisi tunggal. Itu adalah 3,515625% dari total.

Pelampung presisi tunggal memiliki 24 bit presisi. Apa pun yang dibulatkan ke angka 24-bit terdekat. Mungkin lebih mudah dipahami dalam notasi ilmiah desimal, tetapi perlu diingat float aktual menggunakan biner.

Katakanlah Anda memiliki 5 digit desimal memori. Anda dapat memilih untuk menggunakan yang seperti int unsigned biasa, memungkinkan Anda untuk memiliki angka antara 0 dan 99999. Jika Anda ingin dapat mewakili angka yang lebih besar, Anda dapat menggunakan notasi ilmiah dan hanya mengalokasikan dua digit sebagai eksponen, jadi Anda sekarang dapat mewakili apa pun antara 0 dan 9,99 x 10 ⁹⁹ .

Namun, angka terbesar yang Anda dapat wakili dengan tepat sekarang hanya 999. Jika Anda mencoba mewakili 12345, Anda bisa mendapatkan 1,23 x 10 ⁴ , atau 1,24 x 10 ⁴ , tetapi Anda tidak dapat mewakili angka apa pun di antaranya, karena Anda tidak memiliki cukup angka.