Bisakah Anda menggunakan Pi sebagai generator nomor acak?

Saya baru-baru ini melihat pertanyaan ini di math.SE. Itu membuat saya berpikir. Bisakah Pi digunakan sebagai generator angka acak? Maksud saya hasilnya diketahui (berapa lama pi telah dikomputasi sampai sekarang?) Tetapi, Pi tampaknya cukup acak ketika diambil 1 digit pada suatu waktu.

Apakah ini masuk akal sama sekali?

Menggali dari http://www.befria.nu/elias/pi/binpi.html untuk mendapatkan nilai biner dari pi (sehingga lebih mudah untuk diubah menjadi byte daripada mencoba untuk menggunakan angka desimal) dan kemudian menjalankannya melalui ent Saya mendapatkan yang berikut ini untuk analisis distribusi acak byte:

Entropy = 7,954093 bit per byte.

Kompresi optimal akan mengurangi ukuran file 4096 byte ini sebesar 0 persen.

Distribusi chi square untuk 4.096 sampel adalah 253,00, dan secara acak akan melebihi nilai ini 52,36 persen dari waktu.

Nilai rata-rata aritmatika dari byte data adalah 126,6736 (127,5 = acak).

Nilai Monte Carlo untuk Pi adalah 3.120234604 (kesalahan 0,68 persen).

Koefisien korelasi serial adalah 0,028195 (sama sekali tidak berkorelasi = 0,0).

Jadi ya, menggunakan pi untuk data acak akan memberikan Anda data yang cukup acak ... menyadari bahwa itu adalah data acak yang terkenal.

Dari komentar di atas ...

Tergantung pada apa yang Anda lakukan, tapi saya pikir Anda dapat menggunakan desimal dari akar kuadrat dari bilangan prima apa pun sebagai pembangkit bilangan acak. Ini setidaknya harus memiliki angka yang didistribusikan secara merata. - Paxinum

Jadi, saya menghitung akar kuadrat dari 2 dalam biner untuk mengungkap set masalah yang sama. Dengan menggunakan Iterasi Wolfram, saya menulis skrip perl sederhana

#!/usr/bin/perl
use strict;
use Math::BigInt;

my $u = Math::BigInt->new("2");
my $v = Math::BigInt->new("0");
my $i = 0;

while(1) {
    my $unew;
    my $vnew;

    if($u->bcmp($v) != 1) { # $u <= $v
        $unew = $u->bmul(4);
        $vnew = $v->bmul(2);
    } else {
        $unew = ($u->bsub($v)->bsub(1))->bmul(4);
        $vnew = ($v->badd(2))->bmul(2);
    }   

    $v = $vnew;
    $u = $unew;

    #print $i,"  ",$v,"\n";
    if($i++ > 10000) { last; }
}

open (BITS,"> bits.txt");
print BITS $v->as_bin();
close(BITS);

Menjalankan ini untuk 10 pertama yang cocok dengan A095804 jadi saya yakin saya memiliki urutannya. Nilai v _n seperti ketika ditulis dalam biner dengan titik biner ditempatkan setelah digit pertama memberikan perkiraan akar kuadrat dari 2.

Menggunakan ent terhadap data biner ini menghasilkan:

Entropy = 7.840501 bits per byte.

Optimum compression would reduce the size
of this 1251 byte file by 1 percent.

Chi square distribution for 1251 samples is 277.84, and randomly
would exceed this value 15.58 percent of the times.

Arithmetic mean value of data bytes is 130.0616 (127.5 = random).
Monte Carlo value for Pi is 3.153846154 (error 0.39 percent).
Serial correlation coefficient is -0.045767 (totally uncorrelated = 0.0).

Nah, di antara sifat-sifat lain dari generator angka acak, Anda mungkin ingin itu menjadi angka normal . Dan beberapa jawaban dalam soal matematika. SE yang mengilhami pertanyaan Anda menunjukkan bahwa saat ini pi diyakini normal, tetapi belum terbukti.

Generator seperti itu akan menjadi generator nomor semu, yaitu diberi benih yang sama, hasilnya akan selalu sama. Ini dikatakan, dalam sebagian besar kerangka kerja, ketika Anda menggunakan generator nomor acak standar, ada masalah yang sama menjadi pseudo-acak.

Distribusi digit tampaknya sangat mirip dengan generator nomor acak standar¹, sehingga digit π dapat digunakan untuk skenario generasi nomor acak biasa.

Masalahnya adalah bahwa algoritme mungkin akan sangat lambat, dibandingkan dengan generator bilangan acak biasa, sehingga tidak terlalu berguna dalam praktiknya.

^{¹ Saya percaya itu benar, tetapi tidak memiliki bukti. Akan menarik (dan tidak menyulitkan) untuk melakukan perbandingan berdasarkan jumlah yang besar.}

Keacakan digit pi (atau dalam hal ini urutan lain) dapat dibilang diuji oleh apa yang disebut 'tes baterai'. Salah satu tes baterai yang populer adalah Diehard Battery Test milik George Marsaglia . Ada juga publikasi Khusus NIST 800-22 yang menjelaskan sejumlah tes semacam itu dan hasil penerapan tes-tes ini ke sejumlah konstanta fisik, termasuk - lihat dan lihat - pi selama lebih dari satu juta bit. Hasil pi diberikan dalam Lampiran B dari laporan dan terlihat seperti ini:

Statistical Test                            P-value
Frequency                                   0.578211
Block Frequency (m = 128)                   0.380615
Cusum-Forward                               0.628308
Cusum-Reverse                               0.663369
Runs                                        0.419268
Long Runs of Ones                           0.024390
Rank                                        0.083553
Spectral DFT                                0.010186
Non-overlapping Templates (m = 9, B = 000000001)          0.165757
Overlapping Templates (m = 9)               0.296897
Universal                                   0.669012
Approximate Entropy (m = 10)                0.361595
Random Excursions (x = +1)                  0.844143
Random Excursions Variant (x = -1)          0.760966
Linear Complexity (M = 500)                 0.255475
Serial (m = 16, 2m∇Ψ )                      0.143005

Apakah pi generator urutan acak yang baik? Lihatlah hasil di atas (atau cari arti dari variabel kolom kiri, jika Anda tidak tahu apa artinya), dan periksa apakah itu memenuhi kebutuhan Anda.